§ 13. Построение частных

Если коммутативное кольцо вложено в некоторое тело , то внутри из элементов кольца можно строить частныех).

Для них имеют место следующие правила:

Для доказательства нужно убедиться в том, что обе части после умножения на дают одно и то же и что из следует

Таким образом, мы видим, что частные составляют некоторое поле которое называется полем частных коммутативного кольца Далее, из правил (1) усматривается, что способ, которым дроби сравниваются, складываются, умножаются, оказывается известным, как только эти операции определяются над элементами кольца т. е. строение поля частных полностью определяется строением кольца или: поля частных изоморфных колец изоморфны. В частности, любые два поля частных одного и того же кольца обязательно изоморфны, или: поле частных определяется

кольцом однозначно с точностью до изоморфизма, если только вообще данное кольцо обладает полем частных.

Зададимся теперь вопросом: какие коммутативные кольца обладают полями частных? Или, что то же самое, — какие коммутативные кольца могут быть погружены в поля?

Для того чтобы кольцо можно было погрузить в тело, необходимо прежде всего, чтобы в не было делителей нуля, потому что в теле делителей нуля нет. В коммутативном случае это условие и достаточно: каждое целостное кольцо можно погрузить в некоторое поле.

Доказательство. Мы можем исключить тривиальный случай, когда состоит только из нулевого элемента. Рассмотрим множество всех пар элементов где Этим парам позднее мы сопоставим дроби

Положим если приведенные выше формулы Определенное таким образом отношение является, очевидно, рефлексивным и симметричным; кроме того, оно и тран зитивно, потому что из

следует, что

и поэтому

Таким образом, в силу и коммутативности кольца :

Отношение обладает, таким образом, всеми свойствами эквивалентности. В соответствии с § 5 эта последняя определяет некоторое разбиение пар на классы, при котором эквивалентные пары попадают в один класс. Класс, которому принадлежит пара будет обозначаться символом Как следствие этого определения равенство оказывается выполненным тогда и только тогда, когда т. е. когда

В соответствии с предыдущими формулами (1) мы определим сумму и произведение новых символов равенствами

и

Эти определения корректны, потому что, во-первых, если то и выражения и имеют смысл; во-вторых, праьы; части не зависят от выбора представителей и классов Действительно, заменим в (2) на где

тогда

и, следовательно,

Точно так же:

Соответствующие равенства получаются при замене на где

Без труда показывается, что полученная конструкция обладает всеми свойствами поля. Например, закон ассоциативности сложения получается так:

а остальные законы аналогично.

Чтобы установить, что построенное поле содержит кольцо , мы должны отождествить элементы из с некоторыми дробями. Делается это так.

Сопоставим элементу с все дроби -у, где Эти дроби равны между собой:

Следовательно, каждому элементу с сопоставляется лишь одна дробь. При этом различным элементам с, с сопоставляются различные дроби, потому что из

следует, что

или, так как можно осуществить сокращение:

Итак, элементам кольца взаимно однозначным образом сопоставлены совершенно определенные дроби.

Если или в кольце то для произвольных это означает, что

соответственно

Следовательно, дроби складываются и умножаются так же, как элементы кольца поэтому они составляют систему, изоморфную кольцу В силу сказанного мы можем заменить дроби на соответствующие им элементы с (§ 12, конец). Тем самым мы получаем требуемый результат: построенное поле содержит кольцо

Мы доказали, следовательно, существование поля, содержащего заданное целостное кольцо

Построение частных является первым средством построения из данных колец других колец (в данном случае — полей). Например, именно так из кольца обычных целых чисел строится поле рациональных чисел.

(см. скан)