§ 139. Дробные идеалы
В § 137 
-модуль в поле частных 2 был назван дробным идеалом, если он обладает конечным базисом. Таким образом, идеалы в о, или «целые идеалы», являются частным случаем дробных идеалов.
Если 
базис некоторого дробного идеала, то с помощью умножения на подходящий знаменатель можно сделать все элементы базиса 
, а с ними и весь идеал — целыми.
Обратно, если некоторый 
-модуль а при умножении на какой-то целый элемент 
становится целым идеалом, то в целом идеале 
имеется конечный базис
а потому
Тем самым мы доказали следующее предложение:
Произвольный 
-модуль в поле 2 является дробным идеалом тогда и только тогда, когда он может быть сделан целым идеалом с помощью умножения на некоторый целый элемент 
Мы уже видели, что вместе с a и b идеалы 
и 
имеют конечные базисы, а потому они одновременно являются и дробными идеалами. То же самое остается верным и для частного модулей а 
где 
целые идеалы и 
Действительно, если 
произвольный элемент из 
то
так что 
с помощью умножения на 
становится целым идеалом.
В частности, 
дробный идеал.
Каждый целый или дробный ненулевой идеал обладает обратным.
Доказательство. Пусть с — целый или дробный ненулевой идеал и элемент 
выбран так, что идеал 
целый:
Если теперь 
то умножение равенства (1) на 
дает в соответствии с теоремой 1 (§ 137)
чем и доказано существование обратного идеала
Из этого предложения следует: целые и дробные ненулевые идеалы образуют абелеву группу.
Уравнение 
однозначно решается относительно неизвестного с. Решением будет 
в других обозначениях, 
Из доказанных ранее теорем теперь следует:
Каждый дробный идеал является отношением двух целых идеалов, т. е. представляется в виде
При этом можно сокращать каждый идеал, участвующий одновременно как в числителе, так и в знаменателе.
Каждый дробный главный идеал 
допускает представление в виде частного двух целых главных идеалов, в котором ни один из 
любых наперед заданных простых идеалов не входит одновременно в числитель и знаменатель.
Доказательство. Пусть после сокращения
наперед заданные 
простых идеалов. С помощью умножения на некоторый идеал 
взаимно простой с произведением 
мы получим в знаменателе некоторый главный идеал 
следовательно,
Таким образом, и числитель оказался главным идеалом. При этом ни один из идеалов 
не входит в числитель и знаменатель.
(см. скан)
