§ 49. Операторные изоморфизмы и гомоморфизмы

Если группы с одной и той же областью операторов и задано отображение из при котором каждому элементу а соответствует некоторый элемент а, а произведению произведение причем элементу соответствует элемент , то отображение называется операторным гомоморфизмом. Если элементы-образы составляют всю группу т. е. каждому элементу из соответствует по крайней мере один элемент из то налицо гомоморфное отображение группы на группу Если же каждому а соответствует ровно один а, то имеем операторный изоморфизм и пишем

Если — допустимая нормальная подгруппа в то элементы некоторого смежного класса переходят при применении оператора в произведения т. е. в элементы смежного класса . Смежный класс мы называем произведением оператора и смежного класса а. Тем самым факторгруппа превращается в группу с той же областью операторов , а отображение а оказывается операторным гомоморфизмом.

Обратно, если мы будем исходить из операторного гомоморфизма, то, как в § 10, получим теорему о гомоморфизме:

Если группа отображается на группу посредством операторного гомоморфизма, то подмножество элементов из которые

соответствуют единичному элементу из является в допустимой нормальной подгруппой, а смежные классы по взаимно однозначно соответствуют элементам из причем это последнее соответствие — операторный изоморфизм:

То, что является нормальной подгруппой, мы знаем еще из То, что — допустимая подгруппа, очевидно: если а отображается на единичный элемент то отображается на т. е. вместе с а элемент также принадлежит группе То, что соответствие между смежными классами и элементами из взаимно однозначно, мы уже знаем; то, что это соответствие — операторный изоморфизм, следует из того, что заданное отображение является операторным гомоморфизмом.

В случае аддитивно записанных групп с областью операторов с (-модулей, идеалов в и т. д.) операторный гомоморфизм называется гомоморфизмом модулей. Заметим, что и в этом случае переходит в и остается неизменным. В этом и состоит разница между гомоморфизмом модулей и гомоморфизмом колец, при котором переходит в Рассмотрим пример: два левых идеала из кольца о можно рассматривать как -модули; произвольный операторный гомоморфизм переводит а в а и произведение — в произведение из . Но эти же идеалы можно рассмотреть и как кольца, а кольцевом гомоморфизм сопоставляет произведению из идеала) не

Там, где в последующем речь зайдет просто о группах, будут иметься в виду группы с операторами. Под словами «подгруппы» и «нормальные подгруппы» всегда будут молчаливо подразумеваться допустимые подгруппы и допустимые нормальные подгруппы; слова «изоморфизм» и «гомоморфизм» будут означать «операторный изоморфизм» и «операторный гомоморфизм».

(см. скан)