§ 47. Нормы и следы

Пусть 2 — конечное расширение поля А или, более общо, некоторое кольцо, являющееся одновременно конечномерным векторным пространством над А. Тогда элементы кольца 2 могут быть выражены через базисных элементов с коэффициентами из А:

Для произвольных из имеют место соотношения:

Таким образом, умножение слева на является линейным преобразованием пространства 2 в себя. Матрица этого линейного преобразования в базисе определяется условиями

Определитель этой матрицы, который согласно § 25 не зависит от выбора базиса, называется регулярной нормой или просто нормой элемента в расширении 2 поля А:

В силу (1) норму можно определить как определитель векторов относительно базиса

След матрицы согласно § 26 тоже не зависит от выбора базиса; этот элемент основного поля называется регулярным следом или просто следом элемента расширения 2 над полем А:

Если элементу соответствует матрица а элементу матрица то произведению соответствует матрица а сумме сумма Следовательно,

Начиная с этого места, мы будем предполагать, что 2 является некоторым телом, в центре которого содержится поле А, т. е. всегда

Каждый элемент из 2 содержится в некотором коммутативном теле и существует минимальный многочлен

со свойством Строение простого расширения полностью определяется минимальным многочленом и, следовательно, норму и след элемента в расширении можно вычислить через коэффициенты минимального многочлена.

В качестве базиса их, расширения выберем набор

Если базисные векторы умножить на то получится набор:

Теперь, в соответствии с (1), выразим векторы (8) через базисные векторы (7), тогда:

Сумма диагональных элементов матрицы преобразования равна следовательно, след элемента в расширении равен

Норма элемента в расширении является определителем векторов (8);

Изменим этот определитель в соответствии с правилами действий над определителями. Прежде всего переставим векторы:

После этого выразим через

Определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю, поэтому из всех слагаемых в правой части (11) мы должны принять во внимание лишь первое. Тогда получится равенство:

или, так как определитель из базисных векторов равен единице,

След и норма элемента в поле являются, таким образом, с точностью до знака вторым и последним коэффициентами в минимальном многочлене

В некотором подходящим образом выбранном расширении поля минимальный многочлен разлагается на линейные множители:

Тогда

Следовательно, норма и след элемента в расширении над А оказываются равными произведению и сумме элементов сопряженных с в поле разложения многочлена причем каждый сопряженный элемент берется столько раз, сколько раз соответствующий множитель с входит в разложение (13). Если элемент сепарабелен то каждый сопряженный элемент берется один раз.

Тем же самым методом, но только с несколько большими вычислениями, мы можем получить норму и след элемента в расширении . Если вновь степень расширения над

степень расширения 2 над то степень расширения 2 над А. Базис расширения поля А составляют степени (6). Пусть некоторый базис расширения 2 поля Тогда произведения

составляют некоторый базис поля 2 над полем А. Если умножить базисные элементы слева на и выразить произведения вновь через этот базис, то сумма диагональных элементов окажется равной

или

Определитель базисных элементов, умноженных на равен

Вновь выразим через и воспользуемся теоремами об определителях; тогда получим

или

Следовательно,

Норма в расширении 2 является степенью нормы в расширении а след является -кратным следа в . В силу (14) и (15) эти выводы можно записать и так:

(см. скан)