§ 14. Кольца многочленов

Пусть некоторое кольцо. Мы построим с помощью нового, не принадлежащего кольцу символа х выражения вида

в которых суммирование ведется по какому-то конечному множеству целочисленных значений индекса и «коэффициенты» принадлежат кольну например,

Такие выражения называются многочленами; символ х называется переменной. Таким образом, переменная — это не что иное, как символ в вычислениях. Два многочлена называются равными, если они содержат одни и те же составляющие слагаемые с точностью до слагаемых с нулевыми коэффициентами, которые могут быть произвольно добавлены или удалены из выражения для многочлена.

Если по обычным правилам оперирования с буквами сложить или перемножить два многочлена рассматривая х как элемент, перестановочный с элементами кольца а после этого сгруппировать все члены с одинаковыми степенями переменной х, то получится некоторый многочлен В случае сложения

а в случае умножения

С помощью формул (1) и (2) мы определяем сумму и произведение двух многочленов и утверждаем, что:

Многочлены образуют кольцо.

Свойства сложения без каких бы то ни было новых доказательств очевидны, потому что они сводятся к свойствам сложения коэффициентов Первый закон дистрибутивности следует из равенства

аналогично получается второй закон дистрибутивности. Наконец, закон ассоциативности умножения получается из того, что

Кольцо многочленов, получаемое из обозначается через Если коммутативно, то коммутативно и

Степенью отличного от нуля многочлена называется наиболь шее число для которого Элемент с таким максимальным называется старшим коэффициентом многочлена.

Многочлены нулевой степени имеют вид Мы отождествляем их с элементами основного кольца , что вполне допустимо, ибо они складываются и умножаются точно так же, как элементы основного кольца; благодаря этому обстоятельству многочлены нулевой степени образуют систему, изоморфную кольцу

(ср. § 12, конец). Следовательно, кольцо многочленов содержит кольцо .

Переход от называется (кольцевым) присоединением переменной х.

Если к произвольному кольцу последовательно присоединять переменные и строить то получится кольцо состоящее из всевозможных сумм вида

Мы будем считать, что в каждом таком многочлене допускается любая перестановка сомножителей хапп. Таким образом, кольцо многочленов будет отождествляться с кольцом многочленов, получающимся путем перестановки переменных, например, с Это отождествление допустимо, так как перестановка переменных не сказывается на определении суммы и произведения. Кольцо называют Кольцом многочленов от переменных

В частности, если кольцо является кольцом целых чисел, то говорят о целочисленных многочленах.

Замена переменных на произвольные элементы кольца. Если многочлен над — элемент кольца (самого кольца или кольца, содержащего перестановочный со всеми элементами из то в выражение для всюду вместо х можно подставить элемент а и получить таким способом значение Если любой другой многочлен и его значение при то сумма и произведение

при имеют значения

Для суммы это очевидно. Для произведения вычисления проводятся по формуле (2):

Тем самым доказано: все соотношения между многочленами получающиеся при сложении и умножении,

остаются в силе при замене переменной х на произвольный элемент кольца перестановочный со всеми элементами из

Соответствующая теорема справедлива и для многочленов от нескольких переменных. В частности, если кольцо коммутативно, то в многочлен можно подставлять вместо переменных произвольные элементы из (или из коммутативного расширения кольца Благодаря этому многочлены называют также целыми рациональными функциями от переменных

Для целочисленных многочленов без постоянного члена возможность подстановки элементов кольца дает большее: вместо могут быть подставлены произвольные перестановочные элементы любого кольца независимо от того, содержит ли оно целые числа или нет.

Если целостное кольцо, то и целостное кольцо.

Доказательство. Если и если старший коэффициент в , а — старший коэффициент в то коэффициент при в так что Следовательно, делителей нуля нет.

Из этого доказательства получается

Следствие. Если целостное кольцо, то степень многочлена равна сумме степеней

Для многочленов от переменных с помощью индукции немедленно получается утверждение:

Если кольцо целостное, то кольцо тоже целостное.

Под степенью выражения мы понимаем сумму показателей Степенью же ненулевого многочлена называется наибольшая степень отличных от нуля составляющих его выражений указанного выше типа. Многочлен называется однородным или формой, если все составляющие его выражения имеют одинаковую степень. Произведение однородных многочленов вновь является однородным многочленом и его степень равна — при условии, что кольцо целостное, — сумме степеней сомножителей.

Неоднородные многочлены могут быть (однозначным образом) представлены в виде суммы однородных составляющих разных степеней. Перемножим два таких многочлена степеней тогда произведение однородных составляющих высших степеней в случае целостного кольца является ненулевой формой степени Все остальные составляющие произведения имеют меньшую степень. Следовательно, степень многочлена вновь равна Приведенная выше теорема о степени («следствие») оказывается, таким образом, верной для многочленов от любого числа переменных.

Алгоритм деления. Пусть с единицей 1; пусть

— произвольный многочлен, старший коэффициент которого и пусть

— произвольный многочлен степени Тогда старший коэффициент можно обратить в нуль, если вычесть из некоторое кратное многочлена а именно — многочлен атхт Если в результате степень окажется большей или равной то старший коэффициент можно будет опять обратить в нуль, осуществляя вычитание некоторого кратного многочлена Продолжая таким образом, мы в конце концов получим остаток со степенью, меньшей

где многочлен степени, меньшей степени многочлена или, возможно, нулевой многочлен. Такая последовательность действий называется алгоритмом деления.

Если, в частности, поле и то предположение о том, что излишне, потому что тогда при необходимости можно умножить на ей и получить единичный старший коэффициент.

(см. скан)