§ 41. Алгебраические расширения

Расширение 2 поля А называется алгебраическим над А, если каждый элемент из 2 является алгебраическим над А.

Теорема. Каждое конечное расширение 2 поля А алгебраично и получается из А присоединением конечного числа алгебраических элементов.

Доказательство. Если степень конечного расширения то среди степеней произвольного элемента а есть не более линейно независимых. Следовательно, должно иметь место равенство т. е. а — алгебраический элемент. Тем самым доказано, что поле 2 алгебраично. В качестве порождающих элементов расширения 2 (т. е. присоединяемого множества) можно взять любой базис поля 2.

Благодаря этой теореме можно говорить о «конечных алгебраических расширениях» вместо «конечных расширений».

Обратная теорема. Каждое расширение поля А, которое получается присоединением конечного множества алгебраических величин к полю А, конечно (и, следовательно, алгебраично).

Доказательство. Присоединение алгебраического элемента 8 степени дает некоторое конечное расширение с базисом Последовательное построение конечных расширений согласно теореме из § 40 вновь приводит к конечному расширению.

Следствие. Сумма, разность, произведение и частное алгебраических элементов являются снова алгебраическими элементами.

Теорема. Если элемент а алгебраичен относительно алгебраическое расширение поля А, то а алгебраичен и над А.

Доказательство. В алгебраическое уравнение для элемента а с коэффициентами из входит лишь конечное множество элементов поля в качестве коэффициентов. Поле конечно над А, а поле конечно над 2; следовательно, конечно над А и элемент а алгебраичен над А.

Поля разложения. Среди конечных алгебраических расширений особенно важны поля разложения данного многочлена которые получаются присоединением всех корней уравнения При этом имеются в виду поля

в которых многочлен из кольца полностью разлагается на линейные множители

и которые получаются присоединением к А корней а; этих линейных функций. О таких полях доказываются следующие теоремы: Для каждого многочлена кольца существует некоторое поле разложения.

Доказательство. В кольце многочлен может следующим образом разлагаться на неразложимые множители:

Сначала мы присоединим какой-нибудь корень неразложимого многочлена и при этом получим поле в котором а потому и имеет линейный множитель

Предположим теперь, что уже построено поле в котором у многочлена отщепляются (равные или различные) множители Надполем многочлен разлагается так:

Присоединим теперь к какой-нибудь корень многочлена . В расширенном таким образом поле «ли) У многочлена отщепляются множители Может оказаться и так, что в после указанного присоединения выделяется больше линейных множителей.

Продолжая таким способом, мы в конце концов найдем поле что и требовалось доказать.

Покажем теперь, что поле разложения заданного многочлена определяется однозначно с точностью до эквивалентности. Для этого нам понадобится понятие продолжения изоморфизма.

Пусть и пусть имеет место изоморфизм Изоморфизм называется продолжением заданного изоморфизма если каждый элемент а из А, который при исходном изоморфизме переходил в , при новом изоморфизме имеет тот же самый образ а из А.

Все теоремы о продолжениях изоморфизмов алгебраических расширений опираются на следующее предложение:

Если при некотором изоморфизме неразложимый многочлен из переходит в (конечно, неразложимый) многочлен из и если а — корень многочлена в некотором расширении поля корень многочлена в некотором расширении поля А, то данный изоморфизм продолжается до изоморфизма при котором а переходит в а.

Доказательство. Элементы из имеют вид и подчиняются правилам, аналогичным тем, что действуют на многочленах по модулю Равным образом, элементы из имеют вид и подчиняются правилам, аналогичным тем, что действуют на многочленах по модулю т. е. все обстоит точно так же, только нужно ставить надстрочную черту. Следовательно, сопоставление

(где соответствуют элементам при изоморфизме является изоморфизмом, обладающим нужными свойствами.

В частности, если и заданный изоморфизм отображает каждый элемент из на себя, то доказанная выше теорема получается заново, потому что поля возникающие при присоединении корней одного и того же неразложимого уравнения, эквивалентны и каждый корень можно перевести в любой другой с помощью подходящего изоморфизма.

Соответствующая теорема получается при присоединении всех корней некоторого многочлена вместо одного:

Если при некотором изоморфизме многочлен из переходит в многочлен из то этот изоморфизм можно продолжить до изоморфизма произвольного поля разложения многочлена и произвольного поля разложения многочлена причем элементы перейдут в некоторой последовательности в элементы

Доказательство. Предположим, что изоморфизм уже продолжен до некоторого изоморфизма (в случае необходимости изменим нумерацию корней), переводящего каждое а, в это предложение тривиально.) В расширении многочлен разлагается так:

Соответственно, с учетом изоморфизма, многочлен разлагается в

В расширении соответственно в множители разлагаются на и соответственно Наборы можно упорядочить так, чтобы был корнем многочлена корнем многочлена Согласно предыдущей теореме изоморфизм

можно продолжить до такого изоморфизма

при котором будет переходить в

Таким способом, шаг за шагом, начиная с мы приходим к искомому изоморфизму

при котором каждое а; переходит в

Если, в частности, и заданный изоморфизм оставляет каждый элемент из на месте, то и продолженный изоморфизм

также оставляет неподвижными все элементы из т. е. оба поля разложения для оказываются эквивалентными. Следовательно, поле разложения произвольного многочлена определено однозначно с точностью до эквивалентности.

Отсюда следует, что все алгебраические свойства корней не зависят от способа построения поля разложения. Например, разлагается ли многочлен над полем комплексных чисел или в результате символического присоединения, — «по существу», т. е. с точностью до эквивалентности, поле разложения будет одним и тем же.

В частности, каждый корень многочлена обладает кратностью, с которой он входит в разложение

Кратные корни имеются тогда и только тогда, когда имеют общий делитель над полем разложения, отличный от константы (§ 28). Наибольший общий делитель над произвольным расширением является, однако, таким же, каков наибольший общий делитель в исходном кольце (§ 17, задача 1). Тем самым, с помощью построения наибольшего общего делителя в кольце можно выяснить, есть ли кратные корни в соответствующем поле разложения.

Два поля разложения одного и того же многочлена, содержащиеся в некотором поле , являются не только эквивалентными, но даже равными. Действительно, в этом случае совпадают два разложения над :

и из теоремы об однозначном разложении на множители в следует, что с точностью до порядка следования множители должны совпадать.

Нормальные расширения. Расширение поля А называется нормальным над полем А или расширением Галуа, если оно, во-первых, алгебраично над А и, во-вторых, каждый неразложимый в многочлен обладающий в 2 хоть одним корнем а, разлагается в на линейные множители.

Поля разложения, построенные выше, являются нормальными в соответствии со следующей теоремой:

Расширение, получающееся из А присоединением всех корней одного или нескольких, или даже бесконечного множества многочленов из является нормальным.

Сначала мы можем свести случай бесконечного множества многочленов к конечному множеству, потому что каждый элемент а из поля зависит лишь от корней конечного множества заданных многочленов и мы можем при доказательстве нормальности, рассматривая разложение неразложимого многочлена, один из корней а которого содержится в данном поле, ограничиться конечным множеством этих корней.

Затем случай конечного множества многочленов можно свести к случаю одного-единственного многочлена, для чего надо все данные многочлены перемножить и присоединять корни произведения — это то же самое, что присоединять корни сомножителей.

Пусть, таким образом, где корни некоторого многочлена и пусть неразложимый в многочлен имеет в корень Если разлагается в 2 неполностью, то мы можем присоединить к еще один корень многочлена и получить поле Тогда, так как сопряжены,

При этом изоморфизме элементы из А и, в частности, коэффициенты многочлена переходят в себя. Присоединим теперь слева и справа все корни многочлена тогда можно будет продолжить изоморфизм:

где переходят вновь в быть может, в другом порядке.

Элемент рациональная функция от с коэффициентами из А:

и это рациональное соотношение сохраняется при любом изоморфизме. Следовательно, также является рациональной функцией от и принадлежит полю 2, что противоречит условию.

Обратная теорема. Любое нормальное расширение 2 поля А получается присоединением всех корней некоторого множества многочленов и, если оно конечно, — присоединением корней даже конечного множества многочленов.

Доказательство. Пусть поле 2 получено присоединением некоторого множества алгебраических величин. (В общем случае можно положить в случае конечного расширения можно считать конечным.) Каждый элемент из удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению с коэффициентами из А, которое полностью разлагается в 2. Присоединение всех корней таких многочленов (соответственно, если таковых лишь конечное число, то всех корней их произведения) дает то же самое, что присоединение множества т. е. дает все поле 2. Это и требовалось доказать.

Неразложимое уравнение называется нормальным, если поле, получающееся присоединением одного из корней этого уравнения, является нормальным, т. е. если полностью разлагается.

(см. скан)