Глава вторая. ГРУППЫ

Содержание Объяснение основополагающих для всей книги важнейших теоретико-групповых понятий: группы, подгруппы, изоморфизма, гомоморфизма, нормальной подгруппы, факторгруппы.

§ 6. Понятие группы

Определение. Непустое множество элементов произвольной природы (например, чисел, отображений, преобразований) называется группой, если выполняются четыре следующих условия.

1. Задан закон композиции, который каждой паре элементов из сопоставляет третий элемент этого же множества, называемый, как правило, произведением элементов и обозначаемый через или через а (Произведение может зависеть от порядка следования сомножителей: не обязательно

2. Закон ассоциативности. Для любых трех элементов с из имеет место равенство

существует (левая) единица т. е. элемент выделяемый следующим свойством:

4. Для каждого элемента а из существует (по крайней мере) один (левый) обратный элемент определяемый свойством:

Группа называется абелевой, если, кроме того, оказывается выполненным тождество (закон коммутативности).

Примеры. Если элементами рассматриваемого множества являются числа, а законом композиции служит обычное умножение, то для того, чтобы получить группу, прежде всего следует исключить нуль, потому что у него нет обратного элемента; все рациональные числа, отличные от нуля, уже образуют группу (единичным элементом является число 1). Точно так же образуют группу числа —1 и 1, а также число 1 само по себе.

Аддитивные группы. В определение понятия группы обозначение операции через не входит: операцией может служить

и сложение, например, обычное сложение целых чисел или векторов. В этом случае в аксиомах 1—4 следует всюду вместо «произведение читать Группа называется тогда аддитивной группой или модулем. Вместо единичного элемента здесь фигурирует нулевой элемент со свойством

а вместо обратного элемента элемент —а со свойством

Обычно предполагают, что сложение — коммутативная операция, т. е.

Вместо пишут кратко . В этих обозначениях

Примеры. Целые числа образуют модуль; четные числа тоже.

Подстановки. Под подстановкой множества мы подразумеваем взаимно однозначное отображение этого множества на себя, т. е. сопоставление каждому элементу а из некоторого образа причем каждый элемент из является образом в точности одного элемента а. Элемент обозначают также через . В случае бесконечных множеств подстановки называют также преобразованиями, но слово «преобразование» в дальнейшем у нас будет использоваться как синоним слова «отображение».

Если множество конечно и его элементы занумерованы числами то каждую подстановку можно полностью описать схемой, в которой под каждым номером указывается номер элемента, являющегося образом элемента с номером Например, схема

изображает подстановку цифр 1, 2, 3, 4, в которой 1 переходит в 2, 2 переходит в 4, 3 переходит в 3 и 4 переходит в 1.

Под произведением двух подстановок понимается подстановка, которую мы получаем, осуществляя сначала подстановку а затем применяя к результату подстановку т. е.

Например, для и произведение Аналогично,

Закон ассоциативности

в общем случае произвольных отображений можно доказать так: применим обе части к произвольному объекту а; тогда

т. е. в обоих случаях получается одно и то же.

Тождественной или единичной подстановкой является такое отображение которое каждый объект переводит в себя самого:

Тождественная подстановка обладает, очевидно, характерным свойством единичного элемента группы: для каждой подстановки имеет место равенство Вместо I иногда пишут также 1.

Подстановкой, обратной к подстановке является такая подстановка, которая переводит в а, тогда как действует наоборот. Если ее обозначить через то можно будет записать равенство

а также равенство

(см. скан)

Из доказанного следует, что аксиомы выполнены для совокупности подстановок произвольного множества Следовательно, эти подстановки образуют группу. Для конечного

множества из элементов группу подстановок называют также симметрической группой и обозначают через Вернемся теперь к общей теории групп. Вместо или пишут кратко Из аксиом 3 и 4 следует, что

таким образом, если умножить последнее равенство слева на элемент, обратный к то получится

или

иными словами, каждый левый обратный элемент является и правым обратным. Таким же способом устанавливается, что обратным к служит а. Далее:

т. е. каждая левая единица является и правой единицей. Отсюда следует возможность (двустороннего) деления:

5. Уравнение обладает решением в группе , как и уравнение где произвольные элементы из

А именно, этими решениями служат так как

Столь же просто доказывается и однозначность деления:

6. Из и из следует, что

Умножая обе части равенства на получаем Точно так же доказывается вторая часть утверждения.

В частности, отсюда следует единственность единичного элемента (как решения уравнения и единственность обратного элемента (как решения уравнения Единичный элемент часто будет обозначаться через 1.

Возможность деления, указанная в утверждении 5, в качестве аксиомы может заменить аксиомы 3 и 4. Действительно, предположим, что 1, 2 и 5 выполнены и попробуем сначала доказать 3. Выберем произвольный элемент с и будем подразумевать под решение уравнения . Тогда

Для произвольного же а решим уравнение

Тогда

откуда следует 3. Аксиома 4 является непосредственным следствием разрешимости уравнения

В соответствии с этим мы можем вместо 1, 2, 3, 4 равным образом использовать 1, 2 и 5 как аксиомы группы.

Если конечное множество, то условие 5 можно вывести из условия 6. Для этого нужно использовать не возможность деления, а (кроме аксиом 1 и 2) лишь его однозначность.

Доказательство. Пусть а — произвольный элемент. Сопоставим каждому элементу х элемент Согласно условию 6 это сопоставление однозначно обратимо, т. е. оно взаимно однозначно отображает множество на некоторое подмножество произведений Поскольку конечно, оно не может взаимно однозначно отображаться на собственное подмножество. Поэтому совокупность элементов должна совпадать с а это означает, что каждый элемент записывается в виде как утверждает первое из условий в 5. Точно так же доказывается разрешимость уравнений Таким образом, 5 следует из 6.

Число элементов конечной группы называется ее порядком.

Дальнейшие правила оперирования. Для элемента, обратного к произведению, имеет место равенство:

Действительно,

Сложные произведения и суммы. Степени. Подобно тому как вместо с мы стали кратко записывать введем сложные произведения многих сомножителей

Пусть даны определим по индукции (для ):

В частности, это наше прежнее

Докажем, используя лишь один закон ассоциативности, следующее правило:

Словами: произведение двух сложных произведений является сложным произведением всех участвующих сомножителей в их прежнем порядке. Например,

является частным случаем равенства (1).

Формула (1) очевидна при (по определению символа Если она уже доказана для некоторого значения то для следующего значения имеем:

Тем самым доказано (1).

Замечание. Вместо пишут также Кроме того, в отдельных случаях, если это удобно, пишут

Произведение и одинаковых сомножителей называется степенью

Из доказанной теоремы следует, что

Далее:

Доказательство (с помощью индукции) оставляется читателю. Для доказательства появлявшихся до сих пор правил (1), (2) и (3) требовался лишь закон ассоциативности; поэтому они будут выполнены всякий раз, когда в рассматриваемой области определены произведения и справедлив закон ассоциативности (например, в области натуральных чисел), даже если эта область не является группой.

Если умножение, кроме того, и коммутативно (случай абелевой группы), то можно доказать большее: значение сложного произведения не зависит от порядка следования сомножителей. Точнее: если взаимно однозначное отображение отрезка натурального ряда на себя, то

Доказательство. Для утверждение очевидно. Поэтому будем предполагать его справедливым и для Пусть число отображается на Тогда

Заключенное в скобки произведение содержит лишь сомножители в произвольном порядке. По предположению индукции это выражение равно Поэтому

Из доказанного правила следует, что в абелевых группах законна запись вида

или

означающая, что множество пар индексов подчиненных условию , перенумеровано каким-нибудь (безразлично, каким) способом, а затем образовано произведение.

В произвольной группе обычным способом определяются нулевая и отрицательная степени любого элемента а:

и без труда показывается, что правила (2), (3) выполняются для любых целочисленных показателей.

В аддитивной группе вместо пишут а вместо

— соответственно . Все доказанное для произведений переносится теперь и на суммы.

Правило (3), записанное аддитивно, имеет вид закона ассоциативности

в то время как (2) имеет вид закона дистрибутивности:

К этим двум законам присоединяется еще один закон дистрибутивности:

(в мультипликативной записи: который, однако, имеет место лишь в абелевых группах. Это легко доказать с помощью индукции.

(см. скан)