Глава пятая. ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Содержание. Простые теоремы о многочленах от одной и нескольких переменных с коэффициентами из коммутативного кольца с.

§ 27. Дифференцирование

В этом параграфе мы определяем производные целой рациональной функции для произвольного кольца многочленов без использования непрерывности.

Пусть произвольный многочлен кольца Построим в кольце многочленов многочлен и разложим его по степеням

или

Коэффициент при первой степени (определенный однозначно) называется производной многочлена и обозначается через Очевидно, можно получить и таким способом: разделить разность на содержащийся в ней множитель полученном многочлене положить Отсюда легко следует, что когда — поле вещественных чисел, такое определение производной согласуется с обычным определением производной в дифференциальном исчислении как предела Поэтому только что определенную производную обозначают также через или через или, если содержит, кроме х, и другие переменные, через

Имеют место следующие правила дифференцирования.

Доказательство формулы (1):

Доказательство формулы

Точно так же доказываются более общие утверждения:

Из (4) следует далее, что

Из (3) и (5) получается равенство

С помощью этой формулы можно было бы формально опредетить все описанные выше производные.

(см. скан)