§ 170. Пополнение колец

Тгкольцо является аддитивной -группой и поэтому может быть расширено до сильно полной группы

При этом является аддитивной полугруппой фильтров Коши, нормальной подполугруппой, которая состоит из фильтров с нулевым пределом.

Мы определим в умножение, которое превратит в «полукольцо», в двусторонний идеал этого «полукольца», так что окажется полным топологическим кольцом.

Окрестности нуля по-прежнему будут обозначаться буквами Сначала будет доказана

Лемма. Если фильтр Коши, то для каждой окрестности существует такая окрестность и такое множество А в что

Доказательство. Существует такая окрестность V, что Существует, далее, такая окрестность , что Наконец, существует такое множество А из что

Зафиксируем в А элемент у. Существует такая окрестность , что

Но тогда для каждого х из А и каждого из

так что Точно так же доказывается, что Из этой леммы следует, что

I. Если фильтры Коши, то и — фильтр Коши. Доказательство. Имеем

Для заданной окрестности определим V так, чтобы было

Согласно лемме существуют такое множество А в такое множество В в и такая окрестность что

Можно считать, что малые множества порядка Если теперь два произвольных элемента из из — из , то из (1) следует соотношение

Таким образом, фильтр Коши.

II. g - фильтр Коши и фильтр, сходящийся к нулю, то и сходятся к нулю.

Доказательство непосредственно следует из леммы. Согласно I фильтры Коши образуют некоторое полукольцо Согласно II фильтры, сходящиеся к нулю, образуют двусторонний идеал в этом полукольце. Модуль классов вычетов

является, следовательно, полным топологическим модулем и кольцом.

Докажем теперь непрерывность умножения в Если фильтры Коши и некоторая (определенная, как в § 168) базисная окрестность нуля в то существуют базисные окрестности нуля такие, что

Доказательство. Для произвольных из имеет место соотношение

Пусть теперь дана произвольная окрестность нуля в Определим так, что а затем, в соответствии с леммой, множество множество В в и окрестности так, что и наконец, окрестности так, что Тогда из (3) следует, что для имеет место

так что

Тем самым доказано III.

Итак, является -кольцом. Следовательно, и топологическое кольцо и, так как выполнена первая аксиома отделимости оно будет Тгкольцом.

Согласно § 168 кольцо полное. Итак: Каждое -кольцо погружается в полное Т-кольцо.