§ 40. Конечные расширения тел

Тело называется конечным расширением подтела А или, коротко, конечным над А, если все элементы тела являются линейными комбинациями конечного множества элементов с коэффициентами из А:

В этом случае тело является конечномерным левым векторным пространством над А. Размерность, т. е. число элементов базиса над А, называется степенью расширения над А и обозначается через

Пример. Пусть простое алгебраическое расширение поля А:

где элемент степени над А, т. е. корень некоторого простого многочлена степени из кольца Элементы

составляют базис поля над А, т. е. имеет конечную степень над А.

Пусть — тело, промежуточное между Тогда имеет место следующая

Теорема о степенях. Если конечно над конечно над конечно над 2. Обратно, если 2 конечно над конечно над 2, то конечно над А и

Доказательство. Если конечно над А, то подпространство 2 векторного пространства также конечно над А в силу § 20. То, что конечно над 2, очевидно, потому что конечно даже над А. Обратно, пусть конечны и пусть базис пространства 2 над А, а — базис пространства над 2. Тогда каждый элемент тела представляется в виде

Таким образом, каждый элемент тела линейно зависит от величин Эти величины линейно независимы над А, потому что из

в силу линейной независимости элементов над 2 следует, что

а в силу независимости элементов и над А

Следовательно, — степень тела над А, что и требовалось доказать.

Следствия формулы (2).

а) Если то Действительно, из (2) следует, что Аналогично:

в) Если то степень является делителем степени

(см. скан)

(см. скан)