§ 43. Поля Галуа (конечные коммутативные тела)

Среди простых полей характеристики мы уже встречали поля из конечного числа элементов. Конечные поля называются полями Галуа по имени их первого исследователя Эвариста Галуа. Прежде всего, мы установим несколько общих свойств.

Пусть А — поле Галуа и число его элементов.

Характеристика поля А не может быть равна нулю, потому что иначе в А содержалось бы простое поле характеристики нуль, состоящее из бесконечного числа элементов. Пусть характеристика данного конечного поля. Простое поле изоморфно тогда кольцу классов вычетов кольца целых чисел по модулю и поэтому содержит элементов.

Так как в вообще есть лишь конечное число элементов, в этом поле существует наибольшая система из линейно независимых над элементов Тогда степень расширения и каждый элемент из приобретает вид

где коэффициенты из поля однозначно определены.

Для каждого коэффициента есть возможных значений; следовательно, имеется в точности выражений вида (1). Так как эти выражения и дают элементы поля, о котором идет речь, мы получаем равенство

Итак, доказано: число элементов конечного поля является степенью характеристики показатель этой степени равен степени расширения

Любое тело после отбрасывания нуля превращается в некоторую мультипликативную группу. В случае поля Галуа эта группа абелева и имеет порядок Но порядок произвольного элемента а тогда должен быть делителем числа ; следовательно,

В этом случае уравнение

имеет корнем и Следовательно, все элементы поля являются корнями многочлена Если элементы поля, то делится на

В силу равенства степеней получается, что

Следовательно, состоит из всех корней одного-единственного многочлена которые присоединяются к полю Этими условиями поле определяется однозначно с точностью до изоморфизма (§ 40). Следовательно,

При заданных числах все поля из элементов изоморфны. Мы покажем теперь, что для каждого и для каждого действительно существует поле из элементов.

Будем исходить из простого поля характеристики и построим над поле, в котором многочлен полностью разлагается на линейные множители, В этом поле рассмотрим

жество корней многочлена Последнее является полем, потому что из согласно задаче 1 из § 41 следует, что

а в случае

так что разность и отношение двух корней рассматриваемого многочлена вновь являются его корнями.

Многочлен имеет только простые корни, потому что его производная, ввиду сравнения равна

не есть нуль. Множество корней является, следовательно, множеством элементов поля из элементов.

Мы доказали:

Для каждой степени простого числа существует одно и с точностью до изоморфизма только одно поле Галуа из элементов. Эти элементы являются корнями многочлена

Поле Галуа из элементов в последующем будет обозначаться через

Положим и заметим, что все отличные от нуля элементы поля Галуа являются корнями многочлена т. е. корнями степени из единицы. Так как взаимно просты, для этих корней из единицы имеет место все сказанное в предыдущем параграфе:

Все отличные от нуля элементы поля являются степенями некоторого примитивного корня степени из единицы. Или: мультипликативная группа поля Галуа циклична.

Если примитивный корень степени из единицы в то все ненулевые элементы из А являются степенями элемента Отсюда следует, что и А является простым расширением поля Степень элемента над равна, конечно, степени расширения

Этой теоремой строение конечных полей описывается полностью.

В дальнейшем нам понадобится следующая теорема:

Поле Галуа характеристики содержит вместе с каждым своим элементом а ровно один корень степени из а.

Доказательство. Для каждого элемента х в поле существует его степень Различные элементы имеют различные степени, так как

Следовательно, в поле существует столько же степеней, сколько самих элементов. Поэтому все элементы являются степенями.

Наконец, определим автоморфизмы поля

Прежде всего отображение является автоморфизмом. Действительно, согласно последней теореме это отображение обратимо и

Степени этого автоморфизма переводят Тем самым мы нашли автоморфизмов.

С другой стороны, число автоморфизмов не может быть больше Произвольный автоморфизм должен переводить примитивный корень в сопряженный элемент, т. е. в корень того же самого многочлена, который обращается в нуль и на Любой многочлен степени имеет, однако, не более корней. Определенные выше автоморфизмов являются, следовательно, единственно возможным и.

Теоремы, справедливые для полей в частном случае становятся теоремами о кольце классов вычетов и совпадают с теоремами, известными из элементарной теории чисел. Именно:

1. Сравнение по модулю имеет самое большее столько же корней по модулю какова его степень.

2. Теорема Ферма:

3. Существует «первообразный корень по модулю — такое число, что любое число взаимно простое с сравнимо по модулю с некоторой степенью числа (Иначе: группа классов вычетов по модулю отличных от нуля, является циклической.)

4. Произведение всех отличных от нуля элементов поля равно —1, так как

Для это дает теорему Вильсона:

(см. скан)

(см. скан)