§ 153. Дифференциалы. Теорема об индексе специальности

С помощью ковекторов мы вычислим теперь индекс специальности Прежде всего докажем две леммы:

Если дивизор не является специальным, а дивизор А — кратное дивизора то и А не является специальным.

Доказательство. Согласно (6) из § 150 имеет место неравенство

Следовательно, если равно максимальному возможному значению то и подавно имеет максимальное возможное значение

Следствие. Каждый дивизор В обладает кратным дивизором А, не являющимся специальным.

Доказательство. Пусть не специальный дивизор. Выберем А как общее кратное дивизоров Из предыдущей леммы сразу же получается нужное утверждение.

Положим Пусть А — кратное дивизора В, так что 6 с Предположим, что дивизор В специальный, а дивизор А — нет. Тогда, конечно,

Так же, как в § 150, запишем линейных уравнений, которым должен удовлетворять некоторый элемент из вида

для того, чтобы принадлежать Пусть разложение элемента и относительно плейса начинается так:

тогда условий-равенств для плейса таковы:

Коэффициенты зависят, разумеется, от плейса так что следовало бы писать но мы этого не делаем.

Если бы уравнений (5) были независимы, то выполнялось бы равенство

Но согласно (1) и (2) разность на меньше, чем следовательно, существует линейных зависимостей между левыми частями уравнений (5), т. е. существует независимых соотношений

которые должны иметь место для каждого элемента и из

Уравнения (6) могут быть записаны в несколько более простой форме, если сумму по представить как скалярное произведение

При этом, как всегда, это набор Чтобы сохранилась связь с предыдущими обозначениями, положим и

Тогда (6) запишется в виде

где

Заменим теперь А на некоторое его кратное

Тогда

Так как дивизор А, будучи кратным дивизора А, не является специальным, то существует линейно независимых соотношений

где выполняющихся для всех и из

Соотношения а точнее, системы их коэффициентов образуют некоторый -модуль ранга Точно так же соотношения образуют -модуль ранга

Если в соотношении отбросить слагаемые с то получится некоторое соотношение выполняющееся для всех и из С помощью этой «проекции» каждое соотношение дает некоторое соотношение и отображение линейно. Если бы ненулевое соотношение при указанной проекции переходило в то это означало бы, что в существуют слагаемые лишь с т. е.

Любое такое соотношение выполнялось бы для всех и из Если мы опять выпишем уравнения, которым должен удовлетворять элемент из чтобы являться элементом из то соотношение будет говорить о том, что между этими уравнениями имеется некоторая зависимость. Но тогда должно выполняться неравенство

а это невозможно, так как для А и для А имеет место (1).

Следовательно, отображение взаимно однозначное. Оно изоморфно переводит модуль соотношений на некоторый модуль того же ранга в модуле всех соотношений т. е. на весь модуль соотношений Это означает следующее:

Каждое соотношение может быть единственным образом продолжено до некоторого соотношения

Если теперь устремить показатель степени а к бесконечности, начиная с , и при этом каждый раз осуществлять продолжение соотношения то получится однозначно определенная бесконечная последовательность

То же самое можно сделать для каждого плейса у. В результате получится система последовательностей (9) для всех плейсов некоторый ковектор . Но тогда соотношения (8) можно переписать в следующем виде:

Соотношение (10) имеет место для всех элементов и из Для каждой функции и из данного поля можно найти такой дивизор который делится на дивизор В и на дивизор тогда целый дивизор, т. е. функция и принадлежит модулю а потому удовлетворяет соотношению (10). Следовательно, соотношение (10) имеет место для всех функций и поля К.

Так как имеется линейно независимых соотношений то существует линейно независимых ковекторов , определенных с помощью (9) и обладающих свойством (10). Следуя А. Вейлю, введем теперь понятие дифференциала:

Определение 1. Ковектор К со свойством (10) для всех и из К называется дифференциалом поля К.

Связь дифференциалов Вейля с дифференциалами классической теории функций будет описана в § 156.

Определение 2. Ковектор называется кратным дивизора если в определении этого ковектора участвуют лишь

Из определения ковектора немедленно следует утверждение: для каждого ковектора существует такой дивизор В, что является кратным этого дивизора.

На основании определений 1 и 2 можно следующим образом резюмировать доказанное в этом разделе:

Теорема об индексе специальности. Индекс специальности равен числу линейно независимых дифференциалов Я, кратных дивизору В.

Определение 3. Дифференциал называется всюду конечным или дифференциалом первого рода, если он является кратным единичного дивизора (1), т. е. если все с отрицательными индексами равны нулю.

Чтобы подсчитать число линейно независимых дифференциалов первого рода, нужно лишь применить теорему об индексе специальности к дивизору Формула (15) из § 151 дает

Отсюда следует: число линейно независимых дифференциалов первого рода равно роду данного поля.

Другое применение теоремы об индексе специальности мы получаем тогда, когда выбираем дивизор В равным дивизору Сгде С — некоторый целый дивизор, отличный от единичного.

В этом случае потому что единственной функцией, кратной целому дивизору является нуль. Далее а потому

В частности, возьмем так что тогда и мы получаем соотношение

Итак, имеет место утверждение:

Если степень простого дивизора то существует линейно независимых дифференциалов, являющихся кратными дивизора

(см. скан)