Если
кольцо многочленов:
то
поле рациональных функций; в этом случае
получается присоединением конечного множества алгебраических функций, а
оказывается составленным из целых алгебраических функций поля
.
Наша цель состоит в изучении теории идеалов в кольце Как мы знаем, для этого в первую очередь нужно выяснить, справедлива ли в
теорема о цепях делителей для идеалов. Точнее, нужно выяснить, переносится ли на
теорема о цепях делителей при условии, что она выполнена в
В соответствии с теоремами из § 134 это возможно, если существует базис для
как для
-модуля. Этим рассуждением определяется наша ближайшая цель.
Прежде всего, одна подготовительная
Теорема. Если а — некоторый элемент поля 2, то
где
Доказательство. Элемент а удовлетворяет некоторому уравнению с коэффициентами из
Эти коэффициенты являются дробями, числители и знаменатели которых принадлежат кольцу
. С помощью умножения на произведение всех этих знаменателей упомянутые дроби становятся элементами из и получается уравнение
Положим
и умножим это на
Следовательно,
целый элемент над
Положим
и тем самым получим требуемое.
Из этой теоремы следует, что
— поле частных кольца
Если некоторый элемент
является целым над основным кольцом, то и все сопряженные с ним элементы (в некотором расширении Галуа поля
содержащем
являются целыми.
Доказательство. Конечное множество элементов из
, через которые по условию линейно выражаются все степени элемента при любом изоморфизме поля
переходит снова в конечное множество элементов, через которые линейно выражаются все степени того или иного сопряженного с
элемента.
Суммы и произведения целых элементов снова являются целыми; поэтому являются целыми и элементарные симметрические функции от 1 и сопряженных с ним элементов. Мы получили следующее предложение:
Если в некотором неразложимом над полем
уравнении, которому удовлетворяет целый элемент старший коэффициент равен единице, то и все остальные коэффициенты этого уравнения
являются целыми над
В частности, если кольцо целозамкнуто в
то все эти коэффициенты принадлежат
В случае целозамкнутого кольца
это предложение дает удобное средство для выяснения, является ли тот или иной элемент
целым: для этого не нужно строить все уравнения, которым удовлетворяет
и среди них отыскивать уравнения с целыми коэффициентами, а достаточно найти неразложимое уравнение для
со старшим коэффициентом 1. Если все его коэффициенты целые, то и
целый элемент, если же не все коэффициенты целые, то и
не является целым.
Сделаем теперь три следующих предположения:
I. Кольцо
целозамкнуто в своем поле частных
II. В кольце
имеет место теорема о цепях делителей для идеалов.
III. Поле 2 является сепарабельным расширением поля
Из III, в соответствии с § 46, следует, что поле 2 порождается некоторым «примитивным элементом»
Согласно последней теореме
; следовательно, это поле порождается и целым элементом
Элемент
удовлетворяет некоторому уравнению
степени, где
— степень расширения
Каждый элемент
из
можно представить в виде
Если в (1) заменить
на сопряженные с ним элементы
(в каком-либо расширении Галуа поля 2, содержащем
каковых, согласно § 44, существует ровно
то для элементов
сопряженных с
получатся равенства
Определитель этой системы уравнений равен
Квадрат этого определителя является симметрической функцией от
а потому содержится в
Так как сопряженные элементы
все различны,
Следовательно, систему уравнений (2) можно решить:
где
многочлены от
элементы, целые над
Умножение этого равенства на
дает
Если теперь предположить, что
является элементом из
т. е. целым элементом, то окажется, что элементы
а с ними и левая часть в (3) целые. Вместе с тем левая часть является элементом из
Так как кольцо
целозамкнуто в
то элемент
принадлежит
Положим
тогда
согласно (1),
Следовательно, каждое
из
может быть линейно выражено через
с коэффициентами из
Другими словами, кольцо
содержится в конечном
-модуле:
Отсюда, согласно теоремам из § 134, следует, что как и всякий подмодуль в
в частности, всякий идеал в обладает конечным базисом над
как модуль, или, что то же самое, для
-модулей и, в частности, для идеалов в выполняется теорема о цепях делителей. Если, например,
— кольцо главных идеалов, то даже
и каждый подмодуль в
обладают линейно независимыми базисами как модули над
Под
-порядком в 2 подразумевается всякое кольцо в
, которое содержит 95 и является конечным
-модулем. В соответствии со сказанным выше кольцо
является
-порядком, как и любое кольцо, заключенное между
Обратно, из определения целостности следует, что каждый
-порядок 5 в 2 состоит исключительно из целых элементов, т. е. принадлежит кольцу
Тем самым кольцо
можно охарактеризовать как
-порядок в
, содержащий все остальные
-порядки. Кольцо
называют также главным порядком поля 2. Если пойдет речь об «идеалах поля», «единицах поля» и т. д., то всегда будут иметься в виду идеалы из
единицы из
В соответствии с § 135 кольцо
целозамкнуто в поле
.
Результаты этого параграфа не остаются справедливыми в некоммутативных алгебрах над
препятствие состоит в том, что сумма двух целых элементов уже не обязана быть целой. Поэтому совокупность всех целых элементов не является порядком. Несмотря на то, что каждый порядок по-прежнему состоит из целых элементов, в некоммутативном случае не существует наибольшего, главного порядка, содержащего все остальные. При подходящих предположениях относительно поля
появляются различные максимальные
-порядки, так что каждый
-порядок, а также каждый целый элемент содержатся по
крайней мере в одном максимальном
-порядке. По поводу теории идеалов в таких максимальных
-порядках см. Дойринг (Deuring М-). Algebren. - Ergebn. Math., 1935, 4, Heft 1.
Во всех
-порядках поля
в соответствии с доказанным выше, выполняется теорема о цепях делителей. Поэтому для таких порядков выполнены теоремы о существовании и единственности разложения на простые множители из §§ 118 и 119 (представление всех идеалов в виде пересечения примарных идеалов).
Согласно § 122 значительное упрощение теории идеалов оказывается возможным тогда, когда каждый отличный от нуля простой идеал
-порядка с не имеет делителей. Следующая теорема устанавливает условия, при которых имеет место этот случай:
Если в кольце
каждый простой идеал, отличный от нуля, не имеет делителей, то и в каждом
-порядке о каждый ненулевой идеал не имеет делителей.
Доказательство. Пусть
произвольный простой идеал из с, содержащий отличный от нуля элемент
Элемент
удовлетворяет некоторому уравнению с коэффициентами из
которое мы будем считать выбранным наименьшей возможной степени и со старшим коэффициентом 1; в этом уравнении
так как иначе можно было бы сократить на
Следовательно,
а потому
принадлежит пересечению
-Это пересечение является простым идеалом в
потому что если произведение каких-нибудь двух элементов из
принадлежит
а потому и
то один из сомножителей должен принадлежать
а потому и
Так как
принадлежит простому идеалу
этот простой идеал отличен от нулевого, а потому не имеет делителей.
Если теперь а — произвольный собственный делитель идеала
некоторый элемент из а, не принадлежащий
то и удовлетворяет уравнению вида
а потому и сравнению с наименьшей возможной степенью
в котором вновь
так как иначе возможно было бы сокращение на
. Следовательно,
а потому элемент
принадлежит пересечению а
и не принадлежит пересечению
Таким образом, это пересечение
является собственным делителем идеала
и по этой причине совпадает с
Следовательно, идеал а содержит единичный элемент, так что
Теорема доказана.
Предположения этой теоремы выполнены, в частности, тогда, когда
является кольцом главных идеалов (кольцом целых чисел, кольцом многочленов от одной переменной). Таким образом, в этом случае в о выполнена теорема о том, что каждый идеал, отличный от нуля и единичного идеала, однозначно представляется в виде произведения взаимно простых и отличных от о примарных идеалов.
Однако, как мы увидим, для главного порядка
выполняется нечто большее: примарные идеалы равны степеням простых идеалов, а потому в этом случае каждый идеал равен произведению степеней простых идеалов. Ввиду значительности этого главного результата «классической» дедекиндовой теории идеалов для теории числовых и функциональных полей мы докажем его, не используя понятия примарного идеала и общей теории идеалов. Это будет сделано в следующем параграфе с помощью метода, предложенного Круллем.
(см. скан)