§ 136. Целые элементы в поле

Пусть целостное кольцо, его поле частных, 2 — конечное коммутативное расширение поля кольцо целых над элементов из 2. Очевидно, что является кольцом, содержащим кольцо Связь между кольцами и полями схематически можно изобразить так:

Такие соотношения будут считаться выполненными всюду в данном параграфе. Под словом «целый» здесь постоянно подразумевается «целый над .

Примеры. Если кольцо обычных целых чисел, то поле обычных рациональных чисел; поле 2 является некоторым числовым полем (конечным над а кольцом целых алгебраических чисел поля 2.

Если кольцо многочленов: то поле рациональных функций; в этом случае получается присоединением конечного множества алгебраических функций, а оказывается составленным из целых алгебраических функций поля .

Наша цель состоит в изучении теории идеалов в кольце Как мы знаем, для этого в первую очередь нужно выяснить, справедлива ли в теорема о цепях делителей для идеалов. Точнее, нужно выяснить, переносится ли на теорема о цепях делителей при условии, что она выполнена в В соответствии с теоремами из § 134 это возможно, если существует базис для как для -модуля. Этим рассуждением определяется наша ближайшая цель.

Прежде всего, одна подготовительная

Теорема. Если а — некоторый элемент поля 2, то где

Доказательство. Элемент а удовлетворяет некоторому уравнению с коэффициентами из Эти коэффициенты являются дробями, числители и знаменатели которых принадлежат кольцу . С помощью умножения на произведение всех этих знаменателей упомянутые дроби становятся элементами из и получается уравнение

Положим и умножим это на

Следовательно, целый элемент над Положим и тем самым получим требуемое.

Из этой теоремы следует, что — поле частных кольца

Если некоторый элемент является целым над основным кольцом, то и все сопряженные с ним элементы (в некотором расширении Галуа поля содержащем являются целыми.

Доказательство. Конечное множество элементов из , через которые по условию линейно выражаются все степени элемента при любом изоморфизме поля переходит снова в конечное множество элементов, через которые линейно выражаются все степени того или иного сопряженного с элемента.

Суммы и произведения целых элементов снова являются целыми; поэтому являются целыми и элементарные симметрические функции от 1 и сопряженных с ним элементов. Мы получили следующее предложение:

Если в некотором неразложимом над полем уравнении, которому удовлетворяет целый элемент старший коэффициент равен единице, то и все остальные коэффициенты этого уравнения

являются целыми над В частности, если кольцо целозамкнуто в то все эти коэффициенты принадлежат

В случае целозамкнутого кольца это предложение дает удобное средство для выяснения, является ли тот или иной элемент целым: для этого не нужно строить все уравнения, которым удовлетворяет и среди них отыскивать уравнения с целыми коэффициентами, а достаточно найти неразложимое уравнение для со старшим коэффициентом 1. Если все его коэффициенты целые, то и целый элемент, если же не все коэффициенты целые, то и не является целым.

Сделаем теперь три следующих предположения:

I. Кольцо целозамкнуто в своем поле частных

II. В кольце имеет место теорема о цепях делителей для идеалов.

III. Поле 2 является сепарабельным расширением поля Из III, в соответствии с § 46, следует, что поле 2 порождается некоторым «примитивным элементом» Согласно последней теореме ; следовательно, это поле порождается и целым элементом Элемент удовлетворяет некоторому уравнению степени, где — степень расширения Каждый элемент из можно представить в виде

Если в (1) заменить на сопряженные с ним элементы (в каком-либо расширении Галуа поля 2, содержащем каковых, согласно § 44, существует ровно то для элементов сопряженных с получатся равенства

Определитель этой системы уравнений равен

Квадрат этого определителя является симметрической функцией от а потому содержится в Так как сопряженные элементы все различны, Следовательно, систему уравнений (2) можно решить:

где многочлены от элементы, целые над Умножение этого равенства на дает

Если теперь предположить, что является элементом из т. е. целым элементом, то окажется, что элементы а с ними и левая часть в (3) целые. Вместе с тем левая часть является элементом из Так как кольцо целозамкнуто в то элемент принадлежит Положим тогда согласно (1),

Следовательно, каждое из может быть линейно выражено через с коэффициентами из Другими словами, кольцо содержится в конечном -модуле:

Отсюда, согласно теоремам из § 134, следует, что как и всякий подмодуль в в частности, всякий идеал в обладает конечным базисом над как модуль, или, что то же самое, для -модулей и, в частности, для идеалов в выполняется теорема о цепях делителей. Если, например, — кольцо главных идеалов, то даже и каждый подмодуль в обладают линейно независимыми базисами как модули над

Под -порядком в 2 подразумевается всякое кольцо в , которое содержит 95 и является конечным -модулем. В соответствии со сказанным выше кольцо является -порядком, как и любое кольцо, заключенное между Обратно, из определения целостности следует, что каждый -порядок 5 в 2 состоит исключительно из целых элементов, т. е. принадлежит кольцу Тем самым кольцо можно охарактеризовать как -порядок в , содержащий все остальные -порядки. Кольцо называют также главным порядком поля 2. Если пойдет речь об «идеалах поля», «единицах поля» и т. д., то всегда будут иметься в виду идеалы из единицы из В соответствии с § 135 кольцо целозамкнуто в поле .

Результаты этого параграфа не остаются справедливыми в некоммутативных алгебрах над препятствие состоит в том, что сумма двух целых элементов уже не обязана быть целой. Поэтому совокупность всех целых элементов не является порядком. Несмотря на то, что каждый порядок по-прежнему состоит из целых элементов, в некоммутативном случае не существует наибольшего, главного порядка, содержащего все остальные. При подходящих предположениях относительно поля появляются различные максимальные -порядки, так что каждый -порядок, а также каждый целый элемент содержатся по

крайней мере в одном максимальном -порядке. По поводу теории идеалов в таких максимальных -порядках см. Дойринг (Deuring М-). Algebren. - Ergebn. Math., 1935, 4, Heft 1.

Во всех -порядках поля в соответствии с доказанным выше, выполняется теорема о цепях делителей. Поэтому для таких порядков выполнены теоремы о существовании и единственности разложения на простые множители из §§ 118 и 119 (представление всех идеалов в виде пересечения примарных идеалов).

Согласно § 122 значительное упрощение теории идеалов оказывается возможным тогда, когда каждый отличный от нуля простой идеал -порядка с не имеет делителей. Следующая теорема устанавливает условия, при которых имеет место этот случай:

Если в кольце каждый простой идеал, отличный от нуля, не имеет делителей, то и в каждом -порядке о каждый ненулевой идеал не имеет делителей.

Доказательство. Пусть произвольный простой идеал из с, содержащий отличный от нуля элемент Элемент удовлетворяет некоторому уравнению с коэффициентами из

которое мы будем считать выбранным наименьшей возможной степени и со старшим коэффициентом 1; в этом уравнении так как иначе можно было бы сократить на Следовательно, а потому принадлежит пересечению -Это пересечение является простым идеалом в потому что если произведение каких-нибудь двух элементов из принадлежит а потому и то один из сомножителей должен принадлежать а потому и Так как принадлежит простому идеалу этот простой идеал отличен от нулевого, а потому не имеет делителей.

Если теперь а — произвольный собственный делитель идеала некоторый элемент из а, не принадлежащий то и удовлетворяет уравнению вида

а потому и сравнению с наименьшей возможной степенью

в котором вновь так как иначе возможно было бы сокращение на . Следовательно, а потому элемент принадлежит пересечению а и не принадлежит пересечению Таким образом, это пересечение является собственным делителем идеала и по этой причине совпадает с Следовательно, идеал а содержит единичный элемент, так что Теорема доказана.

Предположения этой теоремы выполнены, в частности, тогда, когда является кольцом главных идеалов (кольцом целых чисел, кольцом многочленов от одной переменной). Таким образом, в этом случае в о выполнена теорема о том, что каждый идеал, отличный от нуля и единичного идеала, однозначно представляется в виде произведения взаимно простых и отличных от о примарных идеалов.

Однако, как мы увидим, для главного порядка выполняется нечто большее: примарные идеалы равны степеням простых идеалов, а потому в этом случае каждый идеал равен произведению степеней простых идеалов. Ввиду значительности этого главного результата «классической» дедекиндовой теории идеалов для теории числовых и функциональных полей мы докажем его, не используя понятия примарного идеала и общей теории идеалов. Это будет сделано в следующем параграфе с помощью метода, предложенного Круллем.

(см. скан)