§ 94. Произведения и скрещенные произведения

1. Произведение векторных пространств. Пусть — конечномерные векторные пространства над полем Р:

Определим произведение Для этой цели построим пространство-произведение, натянутое на базисных векторов где пробегает значения от 1 до пробегает значения от 1 до

и определим для каждого из и для каждого из произведение:

В частности, тогда

Таким образом, все элементы пространства имеют вид

Эти выражения называют также двухвалентными тензорами, а пространство-произведение — тензорным произведением пространств

Вместо (1) можно также записать

где произвольные элементы из Таким образом, пространство является прямой суммой подпространств

Формула (3) показывает, что модуль не зависит от выбора базиса в Элементы из можно записывать в виде (2) и их сложение и умножение на элементы из можно определить без введения базиса в пространстве

Равным образом, вместо (1) можно писать

Следовательно,

и поэтому тензорное произведение 6 не зависит от выбора базиса в

Согласно (3) модуль можно построить и тогда, когда произвольное конечномерное векторное пространство, а произвольный -модуль. Точно так же модуль можно построить с помощью (5), когда произвольный -модуль, а -произвольное конечномерное векторное пространство.

Тензорное проиведение модулей можно определить и без использования базисов. Это инвариантное определение имеет смысл даже тогда, когда коммутативное кольцо с единицей, а произвольные -модули, на которых единичный элемент из действует как единичный оператор. Поскольку нам здесь потребуется лишь случай, когда поле, а или 35 — конечномерное векторное пространство, ограничимся данным в начале определением, а по поводу общего случая отошлем читателя к книге: Бурбаки Физматгиз, 1962, гл. III.

Тем же способом можно строить тензорные произведения из трех и большего числа векторных пространств:

2. Произведения алгебр. Если — алгебры над полем то можно построить модуль и превратить его в алгебру, в которой произведения базисных элементов определяются так:

Нетрудно обойтись и без базисных элементов в если записать элементы из в виде (2) и положить

Это можно выразить следующими словами: произведения базисных элементов алгебры строятся точно так, как они определяются в но вместо в качестве кольца коэффициентов следует брать алгебру Полученная алгебра будет обозначаться также через . То же самое обозначение будет применяться и тогда, когда является произвольным кольцом, содержащим поле в своем центре. Говоря коротко, алгебра является алгеброй с теми же базисными элементами, что и но с кольцом коэффициентов

Очевидно, имеет место изоморфизм

определяемый тем, что отображается на затем это отображение продолжается по линейности на суммы (1).

Интересные соотношения между произведениями выполняются для полных матричных колец. Символ . будет обозначать кольцо всех матриц порядка с коэффициентами из кольца . Тогда

Для доказательства изоморфизма (8) нужно лишь заметить, что определенные в § 93 матрицы образуют базис в Чтобы осуществить требуемое отображение алгебры нужно в качестве базисных взять те же самые элементы, но в качестве области коэффициентов кольцо . Тогда получится в точности алгебра

Изоморфизм (9) получается так. Алгебра порождается базисными элементами а алгебра порождается базисными элементами поэтому порождается произведениями

удовлетворяющими правилами:

Если множество, состоящее из пар занумеровать индексами пробегающими значения от 1 до то получится соотношение

откуда и усматривается нужный изоморфизм с

3. Скрещенные произведения. Пусть 2 — сепарабельное нормальное конечное расширение поля Группа Галуа расширения 2 (§ 57) состоит из автоморфизмов поля 2, оставляющих неподвижными все элементы поля Мы не предполагаем здесь известной теорию Галуа, а лишь содержание § 57 и, в частности, тот факт, что порядок группы равен степени расширения

Символом обозначим элемент, получающийся из элемента поля 2 применением автоморфизма

Произведение автоморфизмов (сначала , а потом ) на этот раз будет обозначаться через таким образом,

Введенное Э. Нётер скрещенное произведение поля 2 с его группой Галуа определяется следующим образом: сначала

строится векторное пространство

в котором каждому элементу группы соответствует базисный вектор Если символ заменить на символ удалив индекс, то соответствующий элемент будет обозначаться через Таким образом, векторное пространство состоит из сумм

Затем определяются произведения по формуле

и произведения по формуле

где множители являются заданными с самого начала элементами поля не равными нулю.

С помощью (11) и (12) можно перемножать любые суммы (10), осуществляя умножение отдельных слагаемых по формуле

и затем складывая полученные произведения.

Чтобы введенное с помощью системы факторов умножение было ассоциативным, элементы должны удовлетворять условию ассоциативности

В выборе базисных элементов и факторов существует некоторый произвол; именно, элементы можно заменить на элементы

Соответствующая этому новому базису система факторов выглядит так:

Две системы факторов связанные друг с другом соотношением (15), называются ассоциированными. Таким образом, ассоциированные системы факторов определяют одну и ту же алгебру 21.

Пусть единичный этемент группы Тогча можно подобрать множитель при элементе так, чтобы было

и, таким образом, выполнялось равенство Из законов ассоциативности

теперь следует, что единичный элемент алгебры Следовательно, произведения можно отождествить с элементами поля .

Каковы те элементы которые перестановочны со всеми элементами поля Условие дает равенство

отсюда в силу линейной независимости элементов

Для это условие выполняется автоматически. Для существует такой элемент что поэтому Тем самым,

является элементом поля 2.

Отсюда следует утверждение: поле 2 является максимальным коммутативным подкольцом алгебры

Определим теперь центр кольца т. е. множество элементов с алгебры перестановочных со всеми элементами из

Если с — элемент центра, то с перестановочен, прежде всего, со всеми элементами поля , а потому содержится в . Поэтому можно положить Так как у перестановочен со всеми базисными элементами элемент у должен оставаться неподвижным при всех автоморфизмах в соответствии с (11). Согласно последней теореме из § 57 это может быть только тогда, когда у лежит в основном поле Мы получили предложение:

Центром алгебры является поле

Алгебры над полем центр которых совпадает с называются центральными над Раньше их называли «нормальными», но теперь это слово имеет слишком много значений.

Далее мы докажем следующее утверждение:

Если в каком-либо кольце, содержащем поле 2, выполняются соотношения (11) и (12) с то элементы либо все равны нулю, либо линейны независимы над 2.

Доказательство. Если бы один из элементов был линейно зависим от остальных уже известных элементов то

для данного имело бы место равенство

Умножая (16) справа на получим

С другой стороны, умножая (16) на слева, получим в силу (11), что

Сравнение (17) и (18) показывает, что ввиду линейной независимости элементов имеет место равенство

или

Так как мы можем взять элемент такой, что Тогда из (19) следует, что Это верно для всех входящих в (16), а потому Из (12) следует теперь, что для всех т. е. все элементы равны нулю, что и требовалось доказать.

Из доказанной выше теоремы получается такое следствие:

Алгебра является простой, в ней нет двусторонних идеалов, отличных от нее самой и от

Действительно, если произвольный двусторонний идеал в , то является кольцом, в котором классы вычетов удовлетворяют равенствам (11) и (12), а потому они или все равны нулю или линейно независимы над полем . В первом случае а во втором

Объединяя все это, заключаем:

Скрещенное произведение является центральной простой алгеброй над полем

4. Циклические алгебры. Если группа Галуа циклическая, то соответствующее скрещенное произведение называется циклической алгеброй. В этом случае все элементы из являются степенью порождающей

и все элементы можно выбрать как степени элемента

Такой выбор элементов находится в согласии с условием, согласно которому выбирается как единичный элемент

алгебры :

степень элемента является произведением степени и первой степени. Отсюда в силу (12) следует, что

где — некоторый элемент поля 2. Этот единственный элемент определяет всю систему факторов, так как имеет место равенство

а для равенство

Таким образом, факторы равны 1 или в зависимости от того, будет ли в выражениях сумма показателей меньше или нет.

Умножим (21) слева или справа на тогда получим

Отсюда в силу (11)

Тем самым, элемент инвариантен относительно группы а потому лежит в поле Но если это так, то выполнены все условия ассоциативности (13). Поэтому элемент не подчинен никаким условиям, кроме двух естественных:

Если выразить через то получится:

Произведение всех элементов, сопряженных с у, является нормой элемента у над полем Поэтому

Мы доказали утверждение:

Циклическая алгебра полностью определяется как скрещенное произведение циклического поля 2 с его группой Галуа заданием одного-единственного элемента из основного поля Не изменяя алгебру этот элемент можно умножать на норму любого элемента поля .

Следуя Хассе, циклическую алгебру обозначают символом

Если в качестве взять поле характеристики, отличной от , а в качестве — квадратичное расширение и затем положить то в качестве соответствующей циклической

алгебры получится алгебра обобщенных кватернионов из примера 2.

Несмотря на столь простую структуру, циклические алгебры являются очень общими конструкциями. Брауэр, Хассе и Нётер доказали «основную теорему», гласящую: любая центральная алгебра с делением над полем алгебраических чисел конечной степени является циклической.

(см. скан)