§ 171. Пополнение тел

Пред.

След.

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

§ 171. Пополнение тел

Пусть некоторое топологическое тело, которое удовлетворяет первой аксиоме отделимости. Согласно § 170 5 погружается в некоторое полное -кольцо Но кольцо не обязано быть топологическим телом, потому что для некоторого элемента из может не существовать обратного, а если он и существует, то не обязан зависеть непрерывно от

Для того чтобы погружалось в полное -тело, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая аксиома пополняемости тел:

SK. Если фильтр Коши в не сходящийся к нулю, то базис фильтра Коши.

Сначала докажем, что аксиома обязательно выполняется, если вкладывается в некоторое полное топологическое тело Действительно, произвольный фильтр Коши при вложении дает некоторый базис фильтра, который в имеет ненулевой предел а. Тогда базис фильтра сходится к а так как отображение непрерывно; следовательно, базис фильтра Коши.

Пусть теперь выполнена аксиома Мы покажем, что вкладывается в полное топологическое тело.

Прежде всего мы покажем, что прежняя аксиома (§ 165) следует из

Пусть произвольная окрестность нуля в Мы должны показать, что существует окрестность V такая, что

Окрестность единицы составляет некоторый фильтр Коши который сходится к единице, а потому не сходится к нулю. Согласно множество является базисом фильтра Коши. Множествами в служат

где, разумеется, из исключен нуль. Для каждого из имеет место соотношение

Согласно лемме из § 170 для каждой окрестности существует такая окрестность и такое множество А из что

Это множество А имеет вид Выберем теперь V

в пересечении Тогда следовательно,

Это справедливо в отношении всех из поэтому

что и утверждалось.

Теперь мы можем показать, что каждый элемент из обладает обратным. Элемент а является пределом некоторого фильтра Коши из Согласно множество является базисом фильтра Коши, который, следовательно, обладает в некоторым пределом Произведение имеет, с одной стороны, предел а с другой — предел 1, поэтому

Чтобы показать, что является телом, мы должны, в соответствии с § 165, показать, что для каждой базисной окрестности нуля существует базисная окрестность V нуля такая, что

Базисные окрестности при гомоморфизме получаются из некоторых базисных окрестностей из Следовательно, достаточно доказать, что

Но это немедленно следует из (2), если вспомнить о том, как получаются из Подытожим:

Если имеет место аксиома то является -телом. Для того чтобы тело погружалось в некоторое полное -тело, необходимо и достаточно, чтобы имела место аксиома