§ 171. Пополнение тел
Пусть
некоторое топологическое тело, которое удовлетворяет первой аксиоме отделимости. Согласно § 170 5 погружается в некоторое полное
-кольцо
Но кольцо
не обязано быть топологическим телом, потому что для некоторого элемента
из
может не существовать обратного, а если он и существует, то не обязан зависеть непрерывно от
Для того чтобы
погружалось в полное
-тело, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая аксиома пополняемости тел:
SK. Если
фильтр Коши в
не сходящийся к нулю, то
базис фильтра Коши.
Сначала докажем, что аксиома
обязательно выполняется, если
вкладывается в некоторое полное топологическое тело
Действительно, произвольный фильтр Коши
при вложении дает некоторый базис фильтра, который в
имеет ненулевой предел а. Тогда базис фильтра
сходится к а
так как отображение
непрерывно; следовательно,
базис фильтра Коши.
Пусть теперь выполнена аксиома
Мы покажем, что
вкладывается в полное топологическое тело.
Прежде всего мы покажем, что прежняя аксиома
(§ 165) следует из
Пусть
произвольная окрестность нуля в
Мы должны показать, что существует окрестность V такая, что
Окрестность
единицы составляет некоторый фильтр Коши который сходится к единице, а потому не сходится к нулю. Согласно
множество является базисом фильтра Коши. Множествами в
служат
где, разумеется, из
исключен нуль. Для каждого
из
имеет место соотношение
Согласно лемме из § 170 для каждой окрестности
существует такая окрестность
и такое множество А из
что
Это множество А имеет вид
Выберем теперь V
в пересечении
Тогда
следовательно,
Это справедливо в отношении всех
из
поэтому
что и утверждалось.
Теперь мы можем показать, что каждый элемент
из
обладает обратным. Элемент а является пределом некоторого фильтра Коши
из
Согласно
множество является базисом фильтра Коши, который, следовательно, обладает в
некоторым пределом
Произведение имеет, с одной стороны, предел
а с другой — предел 1, поэтому
Чтобы показать, что
является телом, мы должны, в соответствии с § 165, показать, что для каждой базисной окрестности
нуля существует базисная окрестность V нуля такая, что
Базисные окрестности
при гомоморфизме
получаются из некоторых базисных окрестностей
из
Следовательно, достаточно доказать, что
Но это немедленно следует из (2), если вспомнить о том, как получаются
из
Подытожим:
Если имеет место аксиома
то
является
-телом. Для того чтобы тело
погружалось в некоторое полное
-тело, необходимо и достаточно, чтобы имела место аксиома
По поводу дальнейших сведений о топологических телах см. слепующие работы:
Капланский (Kaplansky I.). Topological methods in valuation theory.-Duke Math. J., 1947, 14, p. 527.
Ковальский, Дюрбаум (Kowalsky H. J., Diirbaum H.). Arithmetische Kennzeichung von Korpertopologien. - J. reine und angew. Math., 1953, 191, S. 135.
Ковальский (Kowalsky H. J.). Zur topologischen Kennzeichung von Korpern. - Math. Nachr., 1953, 9, S. 261.
Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. -М.: Наука, 1973.