§ 114. Группа Брауэра. Системы факторов

Распределим центральные простые алгебры над фиксированным основным полем на классы так, чтобы к одному классу относились все те алгебры, которые изоморфны полным матричным кольцам над одним и тем же телом К.

Если тела над то вновь центральная и простая алгебра (§ 103) и, следовательно,

Из (1) следует, что

тем самым произведения алгебр из классов принадлежат одному и тому же клсссу Этот последний назовем произведением классов Так как

то операция умножения коммутативна и ассоциативна. Существует также и единичный класс: это класс основного поля. Наконец, для каждого класса существует обратный класс, а именно, класс тела К, инверсно изооморфного телу К.

Следовательно: классы центральных простых алгебр над образуют абелеву группу. Первым ее исследовал Брауэр и поэтому ее называют группой классов алгебр.

Любую подгруппу группы Брауэра всегда составляют те классы алгебр, которые в качестве поля разложения имеют одно и то же расширение 2 поля Действительно, любое поле разложения тела К согласно § 103 является полем разложения всего класса а также и класса потому что К инверсно изоморфно К и, следовательно инверсно изоморфно Если обладают одним и тем же полем разложения 2, т. е. если

то

а потому является полем разложения и произведения следовательно, и всего класса

Каждый брауэров класс алгебр согласно § 113 обладает сепарабельным полем разложения, скажем, полем Если вместе с присоединить и сопряженные с ним элементы, то получится некоторое нормальное сепарабельное поле разложения 2. Согласно § 113, это подполе неприводимым образом представляется максимальным коммутативным подполем в простой алгебре принадлежащей классу

Докажем теперь следующее: алгебра является скрещенным произведением поля 2 с его группой Галуа в смысле § 94.

Прежде всего, из § 94 следует, что 2 является своим собственным централизатором в т. е. каждый элемент из перестановочный со всеми элементами из 2, принадлежит 2.

Как и в § 94, мы обозначаем через элементы группы Галуа а через — элемент из , который получился применением к элементу автоморфизма Произведение вновь определяется равенством

Согласно теореме об автоморфизмах из § 112 автоморфизмы порождаются внутренними автоморфизмами алгебры Следовательно, для каждого существует такой элемент из обладающий обратным что для всех из имеет место равенство

или

Согласно (2) элемент перестановочен со всеми элементами из 2, а потому он является элементом поля 2. Следовательно, если положить

то получится правило умножения

Так как элемент обладает обратным — таковым служит элемент

Правила (2) и (3) совпадают с правилами (4) и (5), с помощью которых в § 94 было введено скрещенное произведение. Из этих правил следует, как было тогда доказано, что элементы линейно независимы над полем . Линейные комбинации элементов с коэффициентами из

образуют в некоторое кольцо ранг которого над 2 равен а над следовательно, равен где ранг над Согласно § 113 имеет место равенство

Ранг алгебры над равен

Так как имеют один и тот же ранг и содержится в то т. е. является скрещенным произведением поля с его группой Галуа

Возможность представления алгебр в виде скрещенных произведений впервые обнаружила Эмми Нётер. Поэтому систему элементов называют нётеровой системой факторов алгебры или класса алгебр Очевидно, что

Алгебра полностью определяется заданием поля 2 и системы факторов

Обратное неверно. Если заданы и 2, то вложение поля 2 в алгебру определено однозначно с точностью до внутренних автоморфизмов алгебры и с помощью такого вложения элементы определяются неоднозначно — согласно (14) из § 94 можно заменить элементы на

Это, однако, единственная возможность менять упомянутые потому что как и обладают свойством (2):

так что элемент перестановочен со всеми

Если положить то элементы будут элементами из 2 и получится, что

Замена элементов на элементы как мы видели в § 94, имеет своим следствием замену системы факторов на ассоциированную систему факторов

Таким образом, брауэровы классы алгебр с фиксированным полем разложения взаимно однозначно соответствуют классам ассоциированных систем факторов из поля , подчиняющихся условиям ассоциативности (13) из § 94.

До сих пор мы исходили из некоторого заданного нормального поля разложения . Но, следуя Брауэру, можно определить систему факторов простой алгебры и над полем разложения, не являющимся нормальным.

Пусть А — конечное поле разложения, о котором не предполагается, что оно нормально. Пусть примитивный элемент поля А, так что и пусть элементы, сопряженные с в некотором подходяще выбранном нормальном расширении .

Существует лишь одно, с точностью до эквивалентности, абсолютно неприводимое представление алгебры матрицами над А. Пусть а — это представление и пусть представления, которые получаются из только что названного применением изоморфизма полей к матрицам. Так как все эти представления эквивалентны друг другу (над полем 2 также существует лишь одно неприводимое представление), то имеются матрицы переводящие представление в представление

Матрицы могут быть взяты уже над полем потому что над этим полем эквивалентны оба представления. Далее, матрицу можно выбрать так, чтобы каждый изоморфизм поля переводящий , в сопряженные переводил матрицу в матрицу Для достижения этой цели нужно лишь в каждом классе сопряженных пар выбрать одну пару определить для нее матрицу а остальные получить из применением соответствующих изоморфизмов.

Имеют место соотношения

Тем самым матрица перестановочна со всеми матрицами любого абсолютно неприводимого представления и, следовательно, является кратным единичной матрицы Е:

С помощью соотношений (7) оказывается определенной брауэрова система факторов Справедливы следующие свойства:

а) элементы принадлежат полю

в) если — изоморфизм поля переводящий

Свойство а) немедленно следует из определения элементов свойство б) — из ассоциативности, имеющей место для матриц наконец, свойство в) вытекает из поведения матриц при изоморфизмах

Если заменить на где элементы поля удовлетворяют тем же условиям сонряженности, что и матрицы то система перейдет в ассоциированную систему факторов

Если, с другой стороны, заменить представление на эквивалентное представление матрицы перейдут в матрицы непосредственно проверяется, что при этом система факторов не меняется. Следовательно, система факторов определена однозначно с точностью до ассоциированности заданием алгебры К, и поля А.

Всю теорию можно построить, рассматривая только нётеровы или только брауэровы системы факторов. Но доказательства получаются проще и нагляднее, если использовать оба вида систем факторов, доказав их равносильность. Действительно, одни свойства легче доказывать для нётеровых, а другие — для брауэровых систем факторов. Мы начнем с основных свойств брауэровых систем факторов.

Если полное матричное кольцо над основным полем т. е. то можно взять равным единичной матрице Тогда все равны единице и система факторов алгебры, распадающейся уже над основным полем, ассоциирована с единичной системой факторов

Найдем систему факторов для прямого произведения Если а неприводимое представление алгебры К над телом — неприводимое представление алгебры над тем же телом, то получается представление произведения систем при котором переходит в кронекерсво произведение . То, что это представление абсолютно неприводимо, легко увидеть, вычислив его степень. Действительно, если абсолютно неприводимое представление алгебры имеет степень а алгебры — степень то (согласно, например, теореме Бернсайда) имеет ранг — ранг так что имеет ранг в то время как степень произведения представлений равна т. е. совпадает со степенью абсолютно неприводимого представления алгебры

Теперь мы можем вычислить систему факторов произведения представлений. Из и следует, что

поэтому трансформирующие матрицы произведения представлений. Точно так же из

следует, что

Итак, система факторов произведения алгебр

В случае факторы равны единице, поэтому матричное кольцо имеет ту же систему факторов, что и тело К. Тем самым каждому брауэрову классу алгебр соответствует однозначно (с точностью до ассоциированной) определенная система факторов.

Объединяя все это, получаем следующее предложение: каждому элементу группы классов алгебр с полем разложения А соответствует система факторов определенная однозначно с точностью до ассоциированности, причем единичному элементу группы соответствует единичная система факторов, а произведению элементов — произведение систем.

Выясним теперь, как меняется при расширении поля разложения брауэрова система факторов. Пусть конечное сепарабельное расширение поля Каждый изоморфизм поля А индуцирует и некоторый изоморфизм поля А, так что каждому индексу а сопоставляется некоторый индекс а. При переходе к полю А рассматриваемое представление алгебры над А остается неизменным. Но тогда сопряженные представления также остаются неизменными, т. е. если номеру а соответствует номер а. Соответственно, для трансформирующих матриц это дает следующее правило: если номерам а, сопоставлены номера то Наконец, для системы факторов получается следующее: если номерам сопоставлены номера т. е. если изоморфизмы поля А индуцируют изоморфизмы поля А.

На основании этого правила можно совершенно определенным образом перейти от произвольного сепарабельного поля разложения А к содержащему его нормальному полю 2. Изоморфизмы поля являются тогда элементами группы Галуа: Следовательно, в этом случае можно использовать элементы в качестве индексов вместо использовавшихся до сих пор и писать вместо Свойство в) в этих новых обозначениях выглядит так:

Теперь можно осуществить переход к нётеровым системам факторов. Для заданного с самого начала скрещенного произведения вычислим брауэрову систсму факторов и покажем, что она совпадает с точностью до обозначений с нётеровой системой.

Мы получим неприводимое представление алгебры над полем , если рассмотрим как модуль представления. Базисными элементами алгебры как правого -модуля являются в точности элементы Матрица, представляющая элемент (достаточно рассмотреть лишь эти элементы, потому что остальные являются их суммами), получается так: этот элемент умножается на все базисные элементы а потом произведения разлагаются по элементам

Следовательно, представляющая матрица А имеет в столбце и строке элемент а на всех прочих мзстах этого столбца нули. Тем самым, сопряженная матрица имеет в столбце и строке элемент

Найдем теперь матрицу трансформирующую :

В качестве мы возьмем матрицу, которая в столбце У и строке имеет элемент а на всех остальных местах этого столбца нули. Тогда соотношение (10) выполняется, потому что в левой части в столбце и строке стоит элемент а в правой части на том же месте стоит что, согласно (13) из § 94, то же самое. Следовательно, матрица найдена. Остальные получаются (в соответствии с принятым при определении матриц соглашением) применением автоморфизмов

Соотношение нужно установить лишь для случая потому что применением автоморфизма индекс 1 всегда можно превратить в индекс Следовательно, мы должны рассмотреть лишь вопрос о равенстве

или о равенстве

Матрица, стоящая слева, имеет на пересечении столбца 5 и строки элемент

а матрица, стоящая справа, — элемент Следовательно, нужно положить

На основании формулы (11) нётерова система факторов оказывается известной, как только задана брауэрова система. Но нётеровой системой факторов структура алгебры вполне определяется. Мы получили следующее утверждение:

Полем разложения А и системой факторов брауэров класс алгебр определяется однозначно.

На основе проведенных выше рассуждений о системе факторов произведения алгебр мы построили некоторый гомоморфизм из группы Брауэра класссв алгебр с фиксированным полем разложения А в группу классов ассоциированных с ними систем факторов. В силу доказанной однозначности этот гомоморфизм является изоморфизмом.

Легко понять, что соотношение ассоциативности (13) из § 94 является следствием требований а), б), в), наложенных на элементы Следовательно, каждой системе элементов данного поля, подчиненных требованиям а), б), в), соответствует некоторый класс алгебр, представляемый скрещенным произведением с системой факторов определенной равенством (11).

С помощью равенства (11) основные свойства брауэровых систем факторов переносятся на нётеровы. В частности, именно так получается изоморфизм группы классов алгебр с фиксированным нормальным полем разложения и группы классов ассоциированных с этими алгебрами (нётеровых) систем факторов. Отметим специально следующее утверждение:

Скрещенное произведение является полным матричным кольцом над основным полем тогда и только тогда, когда система факторов этой алгебры ассоциирована с единичной системой:

(см. скан)