§ 85. Модули над евклидовыми кольцами. Инвариантные множители

О кольце мы будем теперь предполагать, что оно коммутативно и евклидово в смысле § 17. Это означает, таким образом, что каждому элементу кольца сопоставлено «абсолютное значение» причем так, что и возможно деление. Согласно § 17 в этом случае каждый идеал в является главным. Докажем для начала следующее:

Теорема. Пусть модуль линейных форм над кольцом с базисом Тогда каждый подмодуль в является модулем линейных форм не более, чем с базисными элементами.

Доказательство. Для нулевого модуля теорема тривиальна. Пусть она уже доказана для -членных модулей

Если состоит из линейных форм лишь от элементов то по предположению индукции все доказано. Если содержит линейную форму вида и то элементы появляющиеся при этом, образуют ненулевой правый идеал в следовательно, главный идеал Таким образом, в имеется форма и для любой другой формы и можно найти такую кратную форму формы что если ее вычесть из и то исчезнет коэффициент Получающиеся таким образом линейные формы из от переменных составляют подмодуль, который согласно индуктивному предположению обладает базисом Но тогда формы порождают подмодуль

Элементы линейно независимы. Если бы существовала линейная зависимость

то сравнение коэффициентов при справа и слева дало бы а это невозможно.

(см. скан)

Теорема об инвариантных множителях. Если — подмодуль модуля линейных форм то существует такой базис в и такой базис что

Доказательство. Будем исходить из произвольного базиса модуля и произвольного базиса модуля Пусть

С помощью матричного способа записи вместо (2) можно записать

Мы хотим с помощью последовательных изменений базисов привести матрицу А к желаемой диагональной форме:

Допустимые изменения базиса при этом таковы:

1. Перестановка двух форм и или двух форм что влечет за собой перестановку двух строк или двух столбцов матрицы А.

2. Замена одной из форм на форму при этом из строки матрицы А вычитается строка, умноженная слева на к:

3. Замена любой формы на при этом из столбца матрицы А вычитается столбец, умноженный справа на К:

Будем преобразовывать матрицу А с помощью операций 1, 2, 3 до тех пор, пока нельзя будет уменьшить абсолютное значение наименьшего из отличных от нуля элементов матрицы А. С помощью операции 1 мы можем добиться того, чтобы наименьший элемент матрицы, отличный от нуля, занял место . С помощью операции 2 сделаем так, чтобы были предельно уменьшены остальные элементы первого столбца; для этого нужно вычитать подходящие кратные первой строки из последующих строк. Получится, что абсолютные значения элементов первого столбца меньше, чем они равны 0. Точно так же заменяются нулями элементы первой строки (преобразования типа 3) без изменения элементов первого столбца. После этих операций все элементы матрицы должны делиться на Если бы это было не так, то какой-то элемент, скажем, не делился бы на и тогда на основании алгоритма деления имело бы место равенство

Прибавим сначала с помощью операции 2 первую строку к и вычтем затем с помощью операции 3 из 6-го столбца первый, умноженный на ; тогда на месте появится элемент у, для которого что противоречит минимальности элемента

Теперь матрица выглядит так:

где все элементы из А делятся на . С помощью последующих операций нужно изменить первый столбец и первую строку матрицы точно так же, как это делалось с матрицей А. При этом не будет утрачена делимость каждого из элементов в А на . В конце концов А примет вид

где все элементы из делятся на Продолжая таким образом, мы через шагов получим искомую нормальную форму (4). Случай, когда одна из матриц состоит сплошь из нулей, исключается, потому что иначе некоторые из элементов были бы равны нулю, тогда как на каждой стадии описанного процесса элементы составляют базис модуля Теорема доказана.

Замечания. 1. Операции всегда осуществляются умножением матрицы А слева или справа на некоторые обратимые матрицы над кольцом Если ввести новые базисы

то

Теорема об инвариантных множителях равнозначна, таким образом, утверждению о существовании обратимых матриц для которых матрица вида (2).

2. Преобразование матрицы А тем же самым методом удается и тогда, когда элементы не составляют линейно независимой системы; только в этом случае одна из матриц окажется нулевой и мы получим вместо нормальной формы (4) форму более общего вида,

где ранг матрицы А. Соотношения делимости между элементами остаются теми же.

3. Миноры порядка преобразованной матрицы являются линейными функциями миноров матрицы А и, аналогично, миноры матрицы являются линейными функциями миноров матрицы Следовательно, наибольший общий делитель миноров порядка матрицы А отличается обратимым множителем от наибольшего общего делителя миноров порядка матрицы Но для легко подсчитать, что

так что

Элементы называются детерминантными делителями матрицы А, а инвариантными множителями матрицы А. Из (6) следует, что инвариантные множители являются отношениями двух последовательных детерминантных делителей.

4. Тот факт, что инвариантные множители однозначно определяются матрицей А с точностью до обратимого множителя, будет иным путем получен в следующем параграфе, где показывается, что инвариантные множители (если только они не обратимы) зависят лишь от фактормодуля который в свою очередь определяется, конечно, матрицей А.

(см. скан)