§ 108. Представления конечных групп

Мы докажем прежде всего следующую теорему:

Теорема Машке. Любое представление конечной группы над полем характеристика которого не делит порядок группы вполне приводимо.

Доказательство. Пусть модуль представления приводим и его минимальный подмодуль. Покажем, что является прямой суммой где вновь некоторый модуль представления.

Как векторное пространство, модуль распадается в прямую сумму но пространство при этом может и не быть инвариантным относительно Если у — произвольный элемент из — произвольный элемент из то однозначно представляется в виде суммы некоторого элемента из и некоторого элемента у из так что

При фиксированном а элемент однозначно определяется элементом и зависит от линейно: из следует, что для любого Поэтому можно записать

где — линейное преобразование подпространства зависящее от а. Таким образом, преобразования составтяют некоторое представление группы потому что из а следует, что

Положим

тогда также линейно зависит от у и элементы образуют некоторое линейное подпространство Но тогда по модулю имеем

Следовательно, каждый элемент модуля сравним по модулю не только с некоторым элементом у из но и с некоторым однозначно определенным элементом из Это означает, что

имеет место разложение в прямую сумму

Наконец, для каждого элемента из имеем

т. е. подпространство переводится в себя операторами из а это и означает, что — модуль представления.

Если модуль приводим, то тем же способом можно выделить меньший модуль и т. д. В конце концов будет найдено полное разложение модуля в прямую сумму и, следовательно, требуемое представление. Теорема Машке доказана.

Согласно § 104 каждое представление группы можно продолжить до некоторого представления группового кольца

наоборот, каждое представление группового кольца о естественным образом задает представление группы Из теоремы Машке теперь следует, что каждое представление кольца о вполне приводимо. В частности, это верно и для регулярного представления, допускающего в качестве своего модуля само о. Поэтому кольцо о является прямой суммой минимальных левых идеалов и в соответствии с § 98 (теорема 13) полупросто. Согласно § 105 минимальные левые идеалы кольца о задают все неприводимые представления.

Число абсолютно неприводимых представлений согласно § 106 равно рангу центра, а центр группового кольца, как легко проверить, состоит из всех тех сумм

в которых сопряженные элементы имеют одинаковые коэффициенты. Элементы, сопряженные с данным элементом а, составляют некоторый «класс». Если сумма элементов этого класса, то (1) — сумма таких с коэффициентами из Следовательно, имеет место теорема: центр группового кольца порождается суммами классов Ранг центра равен, таким образом, числу классов сопряженных элементов группы. Мы получили теорему:

Число неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений группы равно числу классов сопряженных элементов в этой группе.

Согласно § 105 для степеней неприводимых представлений выполняется соотношение:

Среди рассматриваемых представлений первой степени всегда есть «тождественное представление», которое каждый групповой элемент переводит в элемент 1. Если же существуют еще и другие представления первой степени, то в данной группе должны существовать собственные нормальные подгруппы с абелевой факторгруппой, потому что матрицы любого представления первой степени перестановочны между собой и образуют абелеву группу, в которую гомоморфно отображается данная группа. Наоборот, если существует собственная нормальная подгруппа с абелевой факторгруппой, то характеры этой факторгруппы задают представления первой степени. Все остальные представления имеют большую степень.

Примеры. 1. Симметрическая группа Число классов равно 3, поэтому есть всего три неэквивалентных неприводимых представления. По знакопеременной подгруппе имеем два смежных класса четные и нечетные подстановки. Вот два характера факторгруппы

они определяют представления первой степени. Так как

третье представление должно иметь степень 2. Возьмем в плоскости три вектора, сумма которых равна нулю; тогда перестановки этих трех векторов дадут точное представление рассматриваемой группы подстановок. Легко установить, что это представление неприводимо. Пусть базисные векторы; тогда представление выглядит так:

2. Группа кватернионов это группа восьми кватернионных единиц . Она имеет две порождающие удовлетворяющие соотношениям:

Число классов равно 5; поэтому имеется пять представлений. Нормальная подгруппа определяет в качестве факторгруппы четверную группу Клейна, обладающую четырьмя характерами, дающими четыре представления. В силу соотношения

остальные представления должны иметь степень 2. Если групповым элементам сопоставить кватернионы то получится гомоморфное отображение группового кольца о на тело кватернионов. Поэтому тело кватернионов должно быть среди двусторонних прямых слагаемых кольца о и тем самым получается разложение кольца о над полем рациональных чисел

где изоморфны полю а изоморфно телу кватернионов. Если перейти к алгебраически замкнутому основному полю (в данном случае достаточно присоединить то тело кватернионов распадается и получается матричное представление

3. Знакопеременная группа может быть исследована тем же методом, что и симметрическая группа — мы предоставляем это читателю. В результате будут найдены четыре представления степеней 1, 1, 1, 3.

4. Симметрическая группа Число классов равно 5, поэтому должно быть пять представлений. Четверная группа Клейна определяет факторгруппу, изоморфную группе для которой мы уже нашли три представления степеней 1, 1, 2. Они задают также представления самой группы степеней 1, 1, 2. Если эти степени обозначить через то

так что

Такое равенство может иметь место лишь для Если мы введем четыре вектора с нулевой суммой, то подстановки этой четверки векторов дадут точное представление третьей степени группы Выберем в качестве базисных векторов; тогда упомянутое представление выглядит так:

Поскольку представление точное, оно не может сводиться к представлениям первой и второй степени; следовательно, оно неприводимо. Если матрицы, представляющие нечетьые подстановки, умножить на —1, то получится новое и тоже точное неприводимое представление третьей степени, заведомо не эквивалентное предыдущему, потому что их следы различны.

(см. скан)