§ 116. Произведения и частные идеалов

Как и в § 16, под наибольшим общим делителем (НОД) или суммой идеалов мы подразумеваем идеал порожденный объединением (в теоретико-множественном смысле) идеалов точно так же под наименьшим общим кратным (НОК)

этих идеалов мы подразумеваем пересечение Обозначение, используемое для суммы идеалов, сохраняется и для идеала, порожденного несколькими идеалами и несколькими элементами; например,

Само собой разумеется, что Далее,

или, словами: базис наибольшего общего делителя получается объединением базисов отдельных идеалов.

Если элементы одного идеала а перемножить с элементами другого идеала то произведения в общем случае не составят идеала. Идеал, порожденный этими произведениями называется произведением идеалов и обозначается через или Он состоит из всевозможных сумм

Очевидно, что

следовательно, с произведениями идеалов можно обращаться так же, как с обычными произведениями чисел. В частности, имеет смысл говорить о степени идеала а; она определяется так:

Если то, очевидно, произведение порождается произведениями Таким образом, мы получаем некоторый базис произведения, умножая все базисные элементы одного идеала-сомножителя на все базисные элементы другого идеала-сомножителя.

В частности, для главных идеалов имеет место равенство

Таким образом, для элементов кольца о произведение, которое только что было определено, совпадает с обычным произведением.

Произведение а произвольного идеала и главного идеала состоит из всех произведений где а пробегает множество элементов из а. В этом случае пишут просто или

Следующее правило - «закон дистрибутивности для идеалов»:

Вот его доказательство. Произведение а порождается произведениями которые в силу равенства

принадлежат идеалу наоборот, идеал порождается произведениями и произведениями принадлежащими идеалу

Правило, такое же, как (1), имеет место и тогда, когда в скобках вместо с стоят несколько или даже бесконечное множество идеалов.

Так как все произведения лежат в а, то справедливо включение

и точно так же

Отсюда следует, что

или: произведение делится на наименьшее общее кратное.

В кольце целых чисел произведение наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя двух идеалов равно произведению Это справедливо не в любом кольце. Однако в общем случае имеет место соотношение:

Доказательство.

Идеал о, состоящий из всех элементов рассматриваемого кольца, называется единичным идеалом. Разумеется, справедливо включение

Если же о содержит единичный элемент то имеет место и обратное включение

Таким образом,

Тем самым идеал о играет в рассматриваемой ситуации роль единичного элемента относительно умножения. Он порожден в этом случае единичным элементом кольца. Всегда выполнены следующие равенства:

Под частным где а — некоторый идеал, мы подразумеваем совокупность тех элементов у из о, для которых

Эта совокупность является идеалом, потому что если обладают свойством (3), то и элемент обладает этим свойством,

и если свойством (3) обладает элемент у, то им обладает и любое произведение При этом предполагается, что а — идеал; относительно такое предположение не обязательно: множество может быть произвольным и даже состоящим из одного-единственного элемента.

Если — идеалы, то из определения следует, что

В кольце целых чисел конструкция частного двух главных идеалов проводится так: множители, участвующие в разложении числа а и делящие отбрасываются; например,

Иначе говоря: число а делится в обычном смысле на наибольший общий делитель

В кольцах общего вида выполняется соответствующее этому наблюдению правило:

которое легко доказывается, но не является особенно важным.

Очевидно, имеет место включение так как каждый элемент из а обладает свойством (3). Таким образом, есть два крайних случая:

Первый случай встречается, когда потому что тогда для каждого у выполнены сравнения

Второй случай встречается, когда из следует, что Тем самым сравнение можно тогда делить на В этом случае говорят, что идеал прост относительно мы, однако, редко будем употреблять этот термин, который может привести к путанице, а будем писать В случае целых чисел отличных от нуля, утверждение:

справедливо, очевидно, лишь тогда, когда не имеют общих множителей. В более общих случаях предикат «прост относительно» не симметричен; например, если простой идеал, отличный от о идеал, являющийся собственным простым

делителеы идеала а, то

но

Например,

Важным является следующее соотношение:

Доказательство. Из

следует, что

и обратно.