§ 138. Обращение и дополнение полученных результатов

Мы видели, что из аксиом I —III (§ 137) следуют теоремы 2 и 3, гарантирующие однозначное разложение идеалов на простые сомножители. Это положение обратимо:

Пусть о — целостное кольцо с единицей. Пусть в с каждый целый идеал а представим в виде произведения простых идеалов: и пусть, если а делится на то в каждом разложении для а каждый отличный от о множитель из разложения для участвует по крайней мере столько же раз. Тогда в кольце о выполняются аксиомы I —III.

Доказательство. Теорема о цепях (аксиома I) немедленно следует из того, что каждый целый идеал обладает лишь конечным числом делителей В частности, простой идеал делится только на и на о, так что выполнена и аксиома II.

Аксиома III (целозамкнутость кольца о в поле частных 2) доказывается так. Предположим, что — произвольный элемент поля целый над о; тогда некоторая его степень, скажем

линейно выражается через или, иначе говоря, принадлежит -модулю Если то модуль с помощью умножения всех его элементов на идеал становится целым идеалом. Очевидно, что удовлетворяет равенству Умножение на дает

В силу единственности отсюда следует, что

и, таким образом, если обе части умножить еще на

Следовательно, элемент X принадлежит кольцу о, что и требовалось доказать.

Обратимся теперь к обобщениям теорем 2 и 3, тоже относящимся к классической теории идеалов.

Тот факт, что из делимости следует возможность представлять элементы в виде произведения, позволяет ввести наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное точно так же, как это делается в случае целых чисел с помощью разложения на простые множители.

Пусть — два целых идеала:

(здесь в обоих случаях указаны простые множители, входящие в возможно, с нулевым показателем степени). Каждый общий делитель содержит лишь простые множители из перечисленных и при этом с показателем степени где наименьшее из чисел Наибольший общий делитель должен делиться на каждый общий делитель и, в частности, на Следовательно, он может иметь лишь следующий вид:

Точно так же устанавливается, что наименьшее общее кратное (пересечение) идеалов является идеалом

где наибольшее из чисел

Теорема 4. Если то в существует элемент для которого

Доказательство. Пусть

Мы должны выбрать элемент так, чтобы делился на но не имел общих с а делителей, отличных от делителей идеала Положим

Тогда Следовательно, существует элемент принадлежащий идеалу но не принадлежащий идеалу с. Тогда

Сумма

делится на (так как этим свойством обладают все Но вместе с тем

следовательно, элемент не имеет с а общих множителей, отличных от множителей идеала

Следствие 1. В кольце классов вычетов каждый идеал является главным.

Действительно, идеал порождается классом вычетов Следствие 2. Каждый идеал обладает базисом из двух элементов где произвольно выбранный элемент из

Действительно, пусть произвольный ненулевой элемент из В соответствии с теоремой, приведенной выше,

Следствие 3. Каждый идеал с помощью умножения на некоторый идеал взаимно простой с заданным идеалом с, может быть превращен в главный идеал.

Доказательство. Положим В соответствии с вышеприведенной теоремой имеем

Так как делится на мы можем считать, что

Ввиду (1)

Следовательно, должны быть взаимно простыми.

(см. скан)