§ 64. Уравнения второй, третьей и четвертой степеней

Решение общего уравнения второй степени

согласно общей теории должно осуществляться в терминах квадратного корпя; в качестве такового (ср. конец предыдущего параграфа) можно взять произведение разностей корней

Отсюда и из равенства

получаются известные формулы

Предположение во всех этих вычислениях только одно: характеристика основного поля не кратна двум. Общее уравнение третьей степени

с помощью подстановки

может быть прежде всего преобразовано к виду

Это делается только для упрощения формул. Из доказательства легко усмотреть, как выглядят формулы для решений исходного уравнения

(В соответствии с общей теорией решения уравнений, изложенной в предыдущем параграфе, мы предполагаем, что характеристика основного поля отлична от 2 и 3.) Руководствуясь композиционным рядом

присоединим сначала произведение разностей корней

(ср. § 33, конец, где ). В результате получится поле относительно которого уравнение имеет группу т. е. циклическую группу третьего порядка. В соответствии с общей теорией из § 62 присоединим корни третьей степени из единицы

и затем рассмотрим резольвенты Лагранжа

Третья степень любого из этих элементов должна рационально выражаться через Имеем

и соответствующим образом получается при замене на Подставим сюда равенства (1) и заметим, что

тогда

Встречающиеся в рассмотренных выражениях симметрические функции согласно легко выражаются через элементарные симметрические функции а потому и через коэффициенты нашего уравнения. Имеем:

поэтому

и точно так же

Кубические иррациональности и не являются независимыми, именно:

Таким образом, кубические корни

следует определить так, чтобы было выполнено равенство

Чтобы вычислить корни умножим уравнения (2) последовательно на 1, 1, 1, соответственно на а затем сложим результаты. Тогда получатся равенства:

Формулы (3), (4), (5) — это формулы Кардано. Они сохраняют силу не только в случае «общего», но и в случае любого частного кубического уравнения.

О вещественности корней. Если основное поле, содержащее коэффициенты является полем вещественных чисел К, то возможны два случая.

а) Уравнение имеет один вещественный и два комплексно сопряженных корня. Очевидно, тогда произведение является чисто мнимым числом, так что Величины вещественны и в (3) можно в качестве взять третий вещественный корень. В силу (4) элемент будет тогда тоже вещественным, и первая из формул (5) представляет как сумму двух вещественных кубических корней, в то время как представляются как комплексно сопряженные числа.

б) Уравнение имеет три вещественных корня. В этом случае вещественное число . В случае (два одинаковых корня) рассуждения дословно повторяют предыдущие; в случае элементы под знаками кубических корней в (3) будут мнимыми и, следовательно, получаются три (вещественных) выражения (5) в виде сумм мнимых кубических корней, т. е. выражения не в вещественном виде.

Это так называемый «неприводимый случай» кубического уравнения. Покажем, что в такой ситуации действительно невозможно решить уравнение

с помощью вещественных радикалов, если только оно не разлагается уже в основном поле К.

Итак, пусть уравнение неразложимо над К и имеет три вещественных корня Присоединим сначала . При этом уравнение не разлагается (потому что поле являющееся, самое большее, квадратичным, не может содержать корней неразложимого кубического уравнения) и его группой будет группа Если бы оказалось возможным добиться разложения с помощью ряда прис(единений вещественных радикалов, показатели которых можно, конечно, считать простыми числами, то среди этих присоединений нашлось бы критическое присоединение а (А — простое число), как раз и вызывающее разложение, в то время как до присоединения корня у а, скажем, в поле уравнение неразложимо. Согласно § 61 либо многочлен а неразложим в либо а является степенью некоторого элемента поля Последний случай отпадает, пототу что тогда вещественный корень степени из и имелся бы и его присоединение не могло бы дать разложения уравнения. Следовательно, многочлен а неразложим и степень поля равна в точности . В поле согласно предположению, содержится корень неразложимого над уравнения следовательно, число делится на 3, а потому Степень поля разложения над также равна 3 и, следовательно, Будучи нормальным, поле должно вместе с а содержать и сопряженные элементы , а потому и корни из единицы Таким образом, мы пришли к противоречию: ведь поле вещественно, а число нет.

Общее уравнение четвертой степени

с помощью подстановки

может быть также преобразовано к виду

Композиционному ряду

соответствует ряд полей:

По-прежнему будет считаться, что характеристика поля А отлична от 2 и 3. Как мы увидим, развернутое выражение для дискриминанта нам не потребуется. Поле порождается над полем таким элементом, который выдерживает подстановки из

но не из Вот один из таких элементов:

Заметим, кстати, что указанный элемент выдерживает не только подстановки из , но и подстановки

(которые вместе с составляют группу порядка 8). Над полем элемент имеет три различных сопряженных элемента, в которые он переводится подстановками из

Эти элементы являются корнями уравнения третьей степени:

где — элементарные симметрические функции от

Элементы можно выразить через элементарные симметрические функции элементов . С помощью метода из получаем:

Тем самым уравнение (6) приводится к виду

Это уравнение называется кубической резольвентой уравнения четвертой степени; корни этой резольвенты по формулам

Кардано могут быть выражены через радикалы. Каждый отдельный корень выдерживает группу из восьми названных выше подстановок, а все три корня выдерживают лишь группу и поэтому

Поле получается из поля присоединением элемента, который выдерживает не все четыре подстановки из , а только подстановки единичную и (например) (12) (34). Одним из таких элементов является Имеем

откуда получается, например, что

Точно так же:

Эти три иррациональности не являются независимыми, так как

Поскольку имеет порядок 4 и обладает подгруппой порядка , двух квадратичных иррациональностей достаточно, чтобы спуститься от к или, что то же, подняться от поля к полю . Действительно, корни рационально определяются через три элемента (которые зависят уже от любых двух среди них); в самом деле, ведь

Это — формулы решения общего уравнения четвертой степени. Они сохраняют силу и для любого конкретного уравнения четвертой степени.

Замечание. Так как

то дискриминант кубической резольвенты равен дискриминанту исходного уравнения. Это дает простое средство вычисления дискриминанта уравнения четвертой степени, поскольку вся информация о кубическом уравнении у нас уже есть. Имеем

(см. скан)