§ 92. Прямые суммы и пересечения

В своих лекциях Эмми Нётер всегда подчеркивала важность связи между прямыми суммами и пересечениями модулей. Эта идея проходит красной нитью через все ее творчество. Сейчас мы разъясним эту связь, начав с мультипликативных групп и перейдя затем к аддитивной форме записи.

Пусть группа является прямым произведением подгрупп Это означает, что:

1) каждая подгруппа нормальна в

2) произведение подгрупп равно

3) если произведение всех за исключением то

где состоит из одного лишь единичного элемента.

В силу § 53 из 1), 2), 3) следует, что каждый элемент группы однозначно представляется в виде произведения и для каждый элемент подгруппы перестановочен с каждым элементом подгруппы Из 2) следует далее, что

Группа состоит из произведений в которых множитель равен Отсюда следует, что пересечение всех подгрупп равно и пересечение всех равно Тем самым подгруппы обладают следующими тремя свойствами, до некоторой степени двойственными свойствам 1), 2), 3):

1) каждая подгруппа является нормальной в

2) пересечение равно

3) если пересечение всех подгрупп кроме то

Если выполняются свойства , то единичная подгруппа называется прямым пересечением подгрупп Если в 2) вместо стоит другая группа а и 3) остаются неизменными, то называется прямым пересечением подгрупп

Этот общий случай без труда сводится к случаю введением факторгрупп

Докажем теперь 1), 2), 3), исходя из . Если определить подгруппы с помощью 3), то из 2) будет следовать

Подгруппы являясь пересечениями нормальных подгрупп, сами являются нормальными в Покажем, что их произведение равно и произведение всех за исключением равно

Пусть произвольный элемент из В силу (1) и (2) группа является прямым произведением подгрупп и так что однозначно представляется в виде

Далее, каждый элемент подгруппы перестановочен с каждым элементом подгруппы в частности, с каждым элементом подгруппы Составим произведение

Тогда

В силу перестановочности элементов последнее выражение можно записать так:

Все сомножители справа лежат в подгруппе в силу чего лежит в при любом В силу 2) отсюда следует, что

так что Следовательно, каждый элемент группы представляется произведением Если элемент лежит в подгруппе то сомножитель равен и поэтому каждый элемент подгруппы представляется в виде

Отсюда следует, что произведение всех подгрупп равно а произведение всех подгрупп за исключением равно Следовательно, подгруппы 21,- обладают свойствами 1), 2), 3).

Из (1) и (2), в соответствии с первой теоремой об изоморфизме, следует, что

В аддитивной записи все доказанное можно сформулировать так:

Если модуль является прямой суммой подмодулей сумма всех за исключением то подмодуль

является прямым пересечением подмодулей а является пересечением всех за исключением Верно и обратное. Наконец, имеет место изоморфизм

Все сказанное имеет место и для групп с операторами. В приложениях к теории колец является кольцом, для которого служит областью левых или правых операторов. Модули становятся в этом случае левыми или правыми идеалами в Таким образом, нам предстоит иметь дело с некоторым представлением кольца прямой суммой левых или правых идеалов и с соответствующим представлением нулевого идеала прямым пересечением левых или правых идеалов Мы сохраним теоретико-групповые обозначения, потому что каждое кольцо будет рассматриваться как аддитивная группа, для которой само это кольцо служит областью операторов.

Если (и также являются двусторонними идеалами, то произведение содержится как в так и в Однако для пересечение является нулевым идеалом, в силу чего Следовательно,

Если кольцо является прямой суммой двусторонних идеалов

то являются кольцами, аннулирующими друг друга:

Обратно: если кольцо рассматриваемое как аддитивная группа, является прямой суммой колец аннулирующих друг друга, то кольца являются двусторонними идеалами в Доказательство очевидно. В этом случае говорят, что кольцо (или, в частности, алгебра является прямой суммой колец (или алгебр)

Если имеют место (3) и (4), то строение кольца легко выясняется через строение колец Именно, если — элементы кольца, представленные с помощью (3) и (4) в виде

то

т. е. сложение и умножение происходит покомпонентно.

(см. скан)

(см. скан)