§ 5. Разбиение на классы
Знак равенства удовлетворяет следующим условиям:
То же самое выражается следующими словами: отношение 
рефлексивно, симметрично и транзитивно. Если между элементами произвольного множества определено отношение 
(т. е. для любой пары элементов 
либо имеет место 
либо нет), подчиненное аксиомам:
то оно называется отношением эквивалентности.
Пример. В области целых чисел назовем два числа эквивалентными, если их разность делится на 2. Очевидно, аксиомы выполняются.
Если задано какое-либо отношение эквивалентности, то мы можем объединить все элементы, эквивалентные данному элементу а, в один класс 
Элементы в таком классе попарно эквивалентны, так как из 
в силу аксиом 2) и 3) следует 
Кроме того, все элементы, эквивалентные какому-либо элементу произвольно фиксированного класса, принадлежат этому классу,
так как из 
с следует 
Таким образом, класс задается каждым своим элементом: если вместо а выбрать другой элемент 
того же самого класса, то получится, что 
Следовательно, мы можем выбрать каждый элемент 
в качестве представителя данного класса.
Если же мы начнем построение с такого элемента 
который не принадлежит рассматриваемому классу (т. е. не эквивалентен элементу а), то придем к классу 
. У которого нет общих элементов с классом К а, в противном случае имели бы 
и 
откуда следовало бы 
? В этом случае классы 
не пересекаются.
Классы эквивалентности целиком покрывают данное множество, потому что каждый элемент а принадлежит некоторому классу, а именно — классу 
Таким образом, множество распадается на попарно непересекающиеся классы. В нашем последнем примере это класс четных и класс нечетных чисел.
Как мы видели, 
тогда и только тогда, когда 
Вводя классы эквивалентности вместо элементов, мы можем отношение эквивалентности а 
заменить отношением равенства 
Обратно, если задано разбиение множества на попарно непересекающиеся классы, то мы можем положить по определению: а 
если 
лежат в одном классе. Очевидно, такое отношение удовлетворяет аксиомам 1), 2), 3).
