§ 29. Интерполяционные формулы

Вернемся к случаю многочленов от одной переменной; в качестве кольца коэффициентов теперь будет рассматриваться некоторое поле. Согласно доказанным выше теоремам два многочлена степеней значения которых совпадают в различных точках, оказываются равными, потому что их разность — многочлен степени, не большей имеет в этом случае корень. Следовательно, существует самое большее один многочлен, который в заданных различных точках принимает заданные значения . С другой стороны, всегда существует

многочлен степени который в этих точках принимает нужные значения, — это многочлен

Итак, существует один и только один многочлен степени который при заданных различных значениях переменной принимает заданные значения этот многочлен задается формулой (1). Формула (1) называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Многочлен с нужными свойствами можно получить и с помощью интерполяционной формулы Ньютона:

где коэффициенты определяются последовательно путем подстановки значений аргумента

Проводить вычисления лучше всего так: подставим в (2) сначала получим

Вычтем это из (2) и разделим на получится

Обозначим левую часть через Подставим в получится

Вычтем теперь это из (3) и разделим на ; тогда

Обозначим левую часть через Подставим теперь получится

Эти вычисления можно продолжить. В общем случае положим (определение с помощью индукции)

и, как и выше, получим

Константу называют разностным отношением функции в точках В силу (4)

разностное отношение может быть определено и как коэффициент при в многочлене степени который в точках принимает значения Действительно, этот многочлен задается с помощью интерполяционной формулы Ньютона

а коэффициент при здесь равен в точности

Из последнего определения следует, что разностное отношение не зависит от нумерации точек Это свойство следующим образом используется на практике: если например, рациональные числа, расположенные в естественном порядке, то разностные отношения вычисляются всякий раз для следующих друг за другом чисел а потому формула (6) с помощью перестановки чисел превращается в формулу

Поэтому конечные разности можно расположить в некоторую схему по следующему принципу:

Каждый последующий столбец получается по формуле (7) путем составления первых разностных отношений предыдущего столбца. Эту схему можно как угодно расширить, вводя все новые и новые исходные точки. Если многочлен степени, то в столбце всюду стоит одна и та же константа,

а именно коэффициент при столбце в этом случае стоят нули.

Арифметические прогрессии высших порядков. Будем считать, что основное в наших рассмотрениях ноле содержит кольцо целых чисел и что точки являются последовательными целыми числами, скажем, Если в этом случае составить описанную выше схему разностных отношений, то знаменатели которые согласно (7) появляются при вычислении столбца, будут все равны Если второй столбец умножить на 1, третий — на 2, четвертый — на 2-3 и, вообще, столбец на то вместо прежней схемы разностных отношений получится схема разностей

где символ означает символ означает Если значения некоторого многочлена степени, то согласно сказанному выше разности будут равны одной и той же константе, а разности все равны нулю. Сам многочлен будет задаваться формулой (2) с коэффициентами

Оказывается, имеет место и обратное утверждение:

Если разности последовательности равны нулю, то являются значениями многочлена степени который задается формулами (2) и (9).

Действительно, построим с помощью многочлена схему разностей и сравним ее с заданной схемой (8); обязательно совпадут начальные элементы каждого из столбцов, а столбец в обоих случаях будет нулевым. Отсюда последовательно получается, что элементы столбцов, а затем столбцов и т. д. и, наконец, первых столбцов обеих схем совпадают.

Приведенный выше способ доказательства одновременно показывает, как, начиная с последнего столбца, можно получить все элементы схемы (8), когда заданы начальные элементы всех столбцов. Нижеследующий пример

возможно, пояснит сказанное:

Будем подразумевать под арифметической прогрессией нулевого порядка произвольную последовательность одинаковых чисел а под арифметической прогрессией порядка — такую последовательность чисел, у которой последовательность разностей является арифметической прогрессией порядка. Очевидно, что первый столбец в схеме (8) является арифметической прогрессией порядка, потому что столбец состоит из одних нулей. Тем самым доказанное выше мы можем сформулировать так:

Значения многочлена степени в точках составляют арифметическую прогрессию порядка, и каждая арифметическая прогрессия порядка состоит из значений в заданных точках некоторого многочлена не выше степени. Сам многочлен находится из формул (2) и (9). Общий член арифметической прогрессии порядка определяется по формуле

Схема разностей (8) находит свое практическое применение в интерполировании и интегрировании функций, которые задаются числовыми (эмпирически построенными) таблицами. значения некоторой функции при равноотстоящих значениях аргумента то практика показывает, что для достаточно гладких функций и для небольших

значений разности второго, третьего, четвертого или, в худшем случае, пятого порядка практически равны нулю; поэтому в нескольких непосредственно следующих друг за другом интервалах функция достаточно точно заменяется многочленом степени не выше четвертой. Для целей численного интерполирования или интегрирования данную функцию можно заменить многочленом, принимающим заданные значения в следующих друг за другом точках, число которых колеблется от 2 до 5. Интерполирование осуществляется с помощью формулы (2). Как правило, при этом оказывается возможным ограничиться разностями первого и второго порядка, т. е. линейными или квадратичными многочленами. При вычислении элементов в разностных отношениях функции встречаются не только множители но и степени длины интервала тем самым вместо (9) получается формула

Если значения аргумента не являются равноудаленными друг от друга, то вместо разностей нужно составлять разностные отношения (7). По поводу дальнейших подробностей теории, оценок погрешностей и т. д. мы отсылаем читателя к соответствующей учебной литературе.

(см. скан)