Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 29. Интерполяционные формулыВернемся к случаю многочленов от одной переменной; в качестве кольца коэффициентов теперь будет рассматриваться некоторое поле. Согласно доказанным выше теоремам два многочлена степеней многочлен степени который в этих точках принимает нужные значения, — это многочлен
Итак, существует один и только один многочлен степени который при заданных Многочлен с нужными свойствами можно получить и с помощью интерполяционной формулы Ньютона:
где коэффициенты Проводить вычисления лучше всего так: подставим в (2) сначала
Вычтем это из (2) и разделим на
Обозначим левую часть через
Вычтем теперь это из (3) и разделим на
Обозначим левую часть через
Эти вычисления можно продолжить. В общем случае положим (определение с помощью индукции)
и, как и выше, получим
Константу
а коэффициент при Из последнего определения следует, что
Поэтому конечные разности можно расположить в некоторую схему по следующему принципу:
Каждый последующий столбец получается по формуле (7) путем составления первых разностных отношений предыдущего столбца. Эту схему можно как угодно расширить, вводя все новые и новые исходные точки. Если а именно коэффициент Арифметические прогрессии высших порядков. Будем считать, что основное в наших рассмотрениях ноле содержит кольцо целых чисел и что точки
где
Оказывается, имеет место и обратное утверждение: Если Действительно, построим с помощью многочлена Приведенный выше способ доказательства одновременно показывает, как, начиная с последнего столбца, можно получить все элементы схемы (8), когда заданы начальные элементы
Будем подразумевать под арифметической прогрессией нулевого порядка произвольную последовательность одинаковых чисел Значения многочлена
Схема разностей (8) находит свое практическое применение в интерполировании и интегрировании функций, которые задаются числовыми (эмпирически построенными) таблицами. значений
Если значения аргумента (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|