Глава двадцатая. ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА

Топологическая алгебра — это учение о группах, кольцах и телах, которые одновременно являются топологическими пространствами и в которых алгебраические операции непрерывны в смысле этой топологии. Такие группы, кольца и тела называют топологическими, или кратко — -группами, -кольцами и -телами.

§ 158. Понятие топологического пространства

Топологическое пространство — это множество в котором выделены некоторые подмножества, названные открытыми множествами. Они должны обладать следующими свойствами:

1. Переселение конечного числа открытых множеств вновь является открытым множеством.

II. Объединение любого множества открытых множеств вновь является открытым множеством.

Примеры. 1. Пусть произвольное упорядоченное множество, которое содержит более одного элемента. Открытый интервал в определяется условием или условием или условием Открытое множество — это такое множество, которое вместе с каждым своим элементом у содержит и некоторый открытый интервал, в который входит у.

2. Пусть поле комплексных чисел. Круг с центром в точке а определим условием Открытым множеством назовем любое такое множество, которое вместе с каждым своим элементом а содержит и некоторый круг с центром в а.

3. То же определение проходит для любого нормированного поля, только нужно использовать вместо Каждое нормированное поле является, следовательно, топологическим пространством.

Из I, в частности, следует, что все пространство открыто, потому что оно является пересечением пустого множества открытых множеств. Равным образом, из II следует, что пустое множество открыто, потому что оно является объединением пустого множества открытых множеств.

Подмножество называется замкнутым множеством в топологическом пространстве если его дополнение открыто Для замкнутых множеств имеют место правила, эквивалентные I и II:

I. Объединение конечного множества замкнутых множеств является замкнутым множеством.

II. Пересечение любого множества замкнутых множеств является замкнутым множеством.

Элементы множества называются точками пространства Открытое множество, содержащее точку называется открытой окрестностью точки Произвольное множество, содержащее открытую окрестность точки называется окрестностью точки и обозначается через

Подмножество топологического пространства само является топологическим пространством, если считать открытыми множествами в пересечения с открытых множеств из Свойства I и II, конечно, выполняются в

Замкнутая оболочка подмножества топологического пространства это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих множество

(см. скан)

Множество называется плотным подмножеством в если замкнутая оболочка множества равна или, что то же самое, если в каждой окрестности любой точки из лежат точки из