§ 130. Теорема Гильберта о корнях. Система результантов для однородных уравнений

Каждый отличный от о простой идеал имеет в универсальном поле некоторый общий корень. Таким образом, любой простой идеал без корней является единичным идеалом о.

Докажем более общее утверждение:

Каждый идеал не имеющий корней в поле является единичным.

Доказательство. Предположим, что существует идеал без корней. Тогда, в соответствии с принципом максимальности, существует и максимальный идеал с без корней. Являясь максимальным, этот идеал согласно § 16 является и простым. Но любой простой идеал о обладает корнями.

Доказанную выше теорему можно сформулировать также следующим образом:

Если многочлены не имеют в пространстве общих корней, то

Эта теорема — частный случай теоремы Гильберта о корнях, утверждающей следующее:

Если многочлен из обращающийся в нуль во всех общих корнях многочленов принадлежащих пространству то

для некоторого натурального числа

Доказательство. С помощью остроумного приема Рабиновича (Math. Ann., 102, S. 518) общий случай сводится к доказанному выше частному случаю. Для утверждение очевидно. В случае добавим одну новую переменную Многочлены

не имеют общих корней в поэтому согласно доказанной выше теореме

Сделаем в этом тождестве подстановку и умножим получившуюся дробь на подходящую степень Тогда получится равенство

которое и требовалось установить.

Обобщение теоремы о корнях. Если многочлены обращаются в нуль во всех общих корнях многочленов то существует такое натуральное число что все произведения из сомножителей, составленные только из многочленов принадлежат идеалу (и наоборот). Доказательство. Имеют место сравнения

Положим

Тогда каждое произведение в котором содержит по меньшей мере один сомножитель так как иначе число было бы равно самое большее числу

Отсюда следует утверждение. Обратное очевидно.

В качестве приложения доказанной только что теоремы мы получим условия, гарантирующие наличие общего нетривиального (отличного от корня в поле у системы форм, т. е. нескольких однородных многочленов

Если единственный корень, то все одночлены обращаются в нуль во всех корнях идеала а потому каждое произведение состоящее из сомножителей, выбранных из элементов принадлежит идеалу:

Пусть степени форм равны соответственно, Чтобы справа в (4) содержались лишь члены степени нужно в оставить слагаемые степени а остальные слагаемые опустить. Тогда вместо получится форма степени

Сравнение членов степени слева и справа в (4) дает равенство

Обратно, если равенства типа (5) имеют место для всех произведений состоящих из сомножителей, то является единственным общим корнем многочленов

Произведения из элементов степени обозначим через Формы в (5) являются линейными комбинациями этих произведений (с коэффициентами из К). Следовательно, (5) утверждает, что все произведения степени выражаются линейно через произведения Мы получили следующий результат:

Необходимым и достаточным условием для того, чтобы многочлены имели единственный общий корень ( является следующее: все произведения достаточно высокой степени линейно выражаются через произведения с коэффициентами из К.

Если число произведений степени составленных из данных элементов, то этот результат можно сформулировать и так:

Для того чтобы формы имели нетривиальный общий корень, необходимо и достаточно, чтобы для каждого число линейно независимых произведений было меньше, чем

Если выразить произведения в виде линейных комбинаций произведений :

то из коэффициентов при каждом и каждом можно составить вектор-строку

Высказанное условие означает тогда, что среди этих векторов-строк имеется менее линейно независимых. Это означает, что все определители из любых таких векторов-строк равны нулю. Если эти определители, то получается следующее утверждение:

Для того чтобы обладали нетривиальным общим корнем, необходимо и достаточно выполнение равенств

Элементы являются коэффициентами форм Следовательно, являются целочисленными формами от коэффициентов форм

Рассмотрим сначала как общие формы степеней т. е. как формы с неопределенными коэффициентами

тогда существует бесконечно много многочленов от этих коэффициентов. Однако, по теореме Гильберта о базисе, существует конечное множество среди всех этих многочленов, через которое все указанные многочлены выражаются линейно (с целочисленными многочленами в качестве коэффициентов). Если (для конкретных форм многочлены из этого конечного множества равны нулю, то и все многочлены системы равны нулю и выполняются равенства (6). Таким образом, существует конечное число целочисленных форм от

которые обращаются в нуль тогда и только тогда, когда формы имеют общий нетривиальный корень.

Эта теорема, играющая важную роль в алгебраической геометрии, принадлежит Мертенсу (Mertens F.) - Sitzungsber. Wiener Akad., 108, S. 1174. Другое ее доказательство дал Капферер (Kapferer Н.)- Sitzungsber. Bayer. Akad. Miinchen, 1929, S. 179.

Система форм с описанным выше свойством называется системой результантов форм Если формы являются линейными, то -строчные определители, составленные из всевозможных наборов по из данных форм, составляют систему результантов. Для форм от двух переменных обычный результант является системой результантов. Точно так же в общем случае, когда даны форм от переменных, система результантов состоит из единственного результанта См. по этому поводу Гурвиц (Hurwitz A.). Uber Tragheitsfor-men. -Ann. di Mat. (3), 1913, 20.