§ 25. Антисимметрические полилинейные формы и определители

Пусть К — поле и некоторое -мерное векторное пространство над К с базисом

Билинейная форма называется альтернированной или антисимметрической, если для всех х и у имеют место равенства

Свойство (1) является следствием свойства (2), потому что из (2) следует, что

и в силу (2)

Если применить (1) и (2) к базисным векторам, то получится, что

Обратно, (1) и (2) следуют из (3) и (4). В самом деле, достаточно доказать (2). Имеем

Полилинейная форма F(х, у, z, ...) называется антисимметрической, если она антисимметрическая по любой паре своих аргументов. Для этого достаточно, чтобы обращалась в нуль всякий раз, когда два аргумента оказываются равными. Для координат это означает, что они обращаются в как только оказываются равными два индекса, и меняют знак, когда два индекса меняются местами:

Рассмотрим частный случай антисимметрической полилинейной формы от аргументов на -мерном пространстве

Ее координаты имеют индексов, каждый из которых изменяется от 1 до Если два индекса оказываются равными, то Поэтому нужно рассматривать лишь те индексы которых получаются перестановкой чисел Положим

Из последовательности индексов можно получить любую другую, последовательно осуществляя транспозицию (т. е. перемену местами) двух индексов. Действительно, с помощью таких транспозиций можно сначала поставить на желаемое место индекс 1, затем индекс 2 и т. д. При каждой транспозиции коэффициент умножается на —1. Четное число транспозиций дает в качестве произведения четную подстановку, а нечетное число транспозиций — нечетную подстановку. Следовательно, если — подстановка, которая переводит в то

Если, в частности, выбрать то получится специфическая полилинейная антисимметрическая функция

Среди прочих полилинейных форм эта форма выделяется тем, что ее значение на базисных векторах оказывается равным единице:

Из (5) следует, что каждая антисимметрическая полилинейная форма равна

или, так как

Тем самым мы получили следующую основную теорему:

Существует единственная антисимметрическая полилинейная форма которая на базисных векторах принимает значение, равное единице. Каждая антисимметрическая полилинейная форма получается из умножением на

Форма называется определителем векторов относительно базиса

Если в качестве выбрать описанное в § 19 модельное векторное пространство, элементами которого служат последовательности то в естественным образом окажется

выделепным базис

Координатами произвольного вектора относительно этого базиса будут как раз Следовательно, определитель оказывается функцией последовательностей, которые можно расположить в виде столбцов матрицы В:

Согласно сказанному выше эта функция полностью определяется тремя свойствами:

1) D линейна по каждому столбцу матрицы

2) D равна нулю, если два столбца одинаковы;

3) D равна единице, если в качестве столбцов взять базисные векторы (10).

Обычно определитель обозначают так:

Основное свойство определителя заключено в теореме об умножении определителей. Мы получим ее без труда, если применим к векторам линейное преобразование А и построим форму

Она вновь будет полилинейной и окажется равной нулю, если два вектора из числа будут одинаковыми. Следовательно, мы можем применить основную теорему, т. е. формулу (9), и получить

Вектор имеет координаты Поэтому (13) можно записать и так:

В этом и состоит теорема об умножении определителей. Если переобозначить элементы матрицы В через то теорему об

умножении можно записать и так:

или еще короче, если через обозначить определитель матрицы А,

В частности, если в качестве А взять любую неособую матрицу, а в качестве В — ее обратную, то левая часть в (15) будет равна 1, и мы получим

Отсюда следует, что определитель неособой матрицы А не равен нулю.

Формула (13) может быть также переписана следующим образом:

Если обе части умножить на произвольный элемент с из поля К, то получится

или

где произвольная альтернированная полилинейная форма. Элемент является, следовательно, множителем, на который нужно умножить форму чтобы получить Отсюда следует, что зависит только от преобразования А, а не от матрицы А, вычисленной в данном базисе Следовательно, мы можем говорить об определителе линейного преобразования А, не обращая внимания на заданный базис. Этот определитель всегда равен определителю матрицы А, каким бы ни был выбранный базис:

(см. скан)

обладает ненулевым решением тогда и только тогда, когда определитель равен нулю.

Транспонирование. Рассмотрим определитель

где сумма справа построена таким образом, что векторы в процессе суммирования оказываются переставленными всевозможными способами. Функция является альтернированной и на базисных векторах ее значение равно единице. Следовательно, определитель D(х, у,...). Отсюда:

Определитель транспонированной матрицы А равен определителю матрицы А:

(см. скан)