Глава восьмая. ТЕОРИЯ ГАЛУА

Теория Галуа занимается конечными сепарабельными расширениями поля К и, в частности, их изоморфизмами и автоморфизмами. В ней устанавливается связь между расширениями данного поля К, содержащимися в фиксированном нормальном расширении этого поля, и подгруппами некоторой специальной конечной группы. Благодаря этой теории оказывается возможным ответить на различные вопросы о разрешимости алгебраических уравнений.

Другое изложение теории Галуа см. в книге Артин (Artin Е). Galois theory. -Notre Dame, 1944.

Все тела, рассматриваемые в этой главе, считаются коммутативными. После К будет называться основным.

§ 57. Группа Галуа

Если задано основное поле К, то согласно § 46 каждое конечное сепарабельное расширение 2 этого поля порождается некоторым «примитивным элементом» 6: Согласно § 44 расширение 2 имеет в некотором подходяще выбранном расширении столько же изоморфизмов над К, т. е. изоморфизмов, оставляющих все элементы из К на месте, какова степень расширения 2 поля К. В качестве такого расширения можно взять поле разложения многочлена корнем которого является элемент 6. Такое поле разложения является наименьшим над К нормальным расширением, содержащим поле 2, или, как мы еще будем говорить, является нормальным расширением, соответствующим полю 2. Изоморфизмы расширения над К могут быть определены благодаря тому обстоятельству, что элемент переводится ими в сопряженные элементы поля Каждый элемент переходит тогда в поэтому вместо того, чтобы говорить об изоморфизме, можно говорить о подстановке

Необходимо, однако, обратить внимание на то, что элементы являются лишь вспомогательным средством, делающим более удобным представление изоморфизмов, и что понятие

изоморфизма совершенно не зависит от того или иного выбора элемента

Если — нормальное расширение, то все сопряженные поля совпадают с 2.

Действительно, прежде всего, в этом случае все содержатся в Но эквивалентно а потому является нормальным. Следовательно, и наоборот, элемент 8 содержится в каждом поле

Обратно: если 2 совпадает со всеми полями то расширение 2 нормально.

Действительно, в этой ситуации расширение 2 равно полю разложения многочлена а потому оно нормально.

Будем впредь считать, что нормальное расширение. В этом случае изоморфизмы, переводящие 2 в сопряженное с ним поле оказываются автоморфизмами поля 2. Очевидно, что эти автоморфизмы поля 2 (оставляющие неподвижным каждый элемент из К) составляют группу из элементов, которая называется группой Галуа поля 2 над полем К или относительно К. В наших последующих рассмотрениях эта группа играет главную роль. Будем обозначать ее через Подчеркнем еще раз, что порядок группы Галуа равен степени расширения

Когда в некоторых случаях речь заходит о группе Галуа конечного сепарабельного расширения 2, не являющегося нормальным, подразумевается группа Галуа соответствующего нормального расширения

Для отыскания автоморфизмов совсем нет необходимости искать примитивный элемент расширения 2. Можно построить 2 путем нескольких последовательных присоединений: затем найти изоморфизмы поля которые переводят в сопряженные с ним элементы, после этого продолжить полученные изоморфизмы до изоморфизмов поля

Важным частным случаем является такой, когда это все корни некоторого уравнения не имеющего кратных корней. Под группой уравнения или многочлена подразумевается группа Галуа поля разложения этого многочлена. Каждый автоморфизм над полем К переводит систему корней в себя, т. е. переставляет корни. Если такая перестановка известна, то известен и автоморфизм, потому что если, например, переходят в то каждый элемент из как рациональная функция переходит в соответствующую функцию Следовательно, группу уравнения можно рассматривать как группу некоторых подстановок корней. Именно эта группа подстановок будет всегда подразумеваться, когда речь зайдет о группе какого-либо уравнения.

Пусть А — некоторое «промежуточное» поле: По одной из теорем § 41 каждый изоморфизм поля А над К, переводящий А в сопряженное с ним поле А внутри можно продолжить до некоторого изоморфизма поля т. е. до некоторого элемента группы Галуа. Отсюда следует утверждение.

Два промежуточных поля сопряжены над К тогда и только тогда, когда они переводятся друг в друга некоторой подстановкой из группы Галуа.

Положим тогда точно так же получается утверждение:

Два элемента , а поля сопряжены друг с другом над К тогда и только тогда, когда они переводятся друг в друга некоторой подстановкой из группы Галуа поля

Если уравнение неразложимо, то все его корни сопряжены, и наоборот. Следовательно,

Группа уравнения транзитивна тогда и только тогда, когда уравнение неразложимо над основным полем.

Число различных сопряженных с а элементов поля равно степени неразложимого уравнения, определяющего а. Если это число равно 1, то а является корнем линейного уравнения и поэтому содержится в К. Следовательно,

Если элемент а поля остается неподвижным при всех подстановках из группы Галуа поля т. е. переводится всеми подстановками в себя, то основное поле К содержит а.

Из всех этих теорем видно то большое значение, которое имеет группа автоморфизмов при изучении свойств поля Приведенные теоремы лишь для удобства формулировались для конечных расширений; с помощью «трансфинитной индукции» они без труда переносятся и на бесконечные расширения. Они остаются верными даже для несепарабельных расширений, если только заменить степень расширения на редуцированную степень и утверждение последней теоремы высказать так: то основное поле К содержит где характеристика». Напротив, «основная теорема Галуа», которой посвящен следующий параграф, выполняется только для конечных сепарабельных расширений.

Расширение поля К называется абелевым, если его группа Галуа абелева, циклическим, если его группа Галуа циклична, и т. д. Точно так же уравнение называется абелевым, циклическим, примитивным, если его группа Галуа абелева, циклическая или (как группа подстановок корней) примитивная.

Особенно простой пример групп Галуа доставляют поля Галуа (§ 43), если содержащееся в них простое поле рассматривать как основное. Рассмотренный в § 43 автоморфизм и его степени оставляют неподвижными все элементы из и поэтому принадлежат группе Галуа; но так

как поле имеет степень эти автоморфизмы составляют всю группу. Последняя является, таким образом, циклической порядка

(см. скан)