§ 66. Вычисление группы Галуа.

Уравнения с симметрической группой

Один из методов, с помощью которого можно построить группу Галуа уравнения над полем состоит в следующем.

Пусть — корни уравнения. Построим с помощью переменных выражение

применим к нему всевозможные подстановки переменных и составим произведение

Очевидно, это произведение является симметрической функцией корней и поэтому, согласно может быть выражено через коэффициенты многочлена Разложим многочлен на неразложимые множители в кольце

Постановки которые переводят в себя некоторый сомножитель, скажем, сомножитель составляют группу Мы утверждаем, что группа - это в точности группа Галуа заданного уравнения.

Доказательство. После присоединения всех корней многочлен , а потому и многочлен разлагаются на линейные множители вида коэффициентами которых служат корни расположенные в некотором порядке. Перенумеруем корни так, чтобы содержал множитель В последующем символ будет обозначать подстановку символов , а такую же подстановку символов а. Очевидно, что в таких обозначениях подстановка оставляет выражение цяая инвариантным, т. е.

Если подстановка принадлежит группе т. е. оставляет инвариантным многочлен то переводит каждый множитель многочлена в частности вновь в некоторый линейный множитель многочлена Обратно, если

некоторая подстановка переводит множитель в другой линейный множитель многочлена то она переводит в некоторый неразложимый в кольце многочлен, являющийся делителем многочлена т. е. в один из многочленов и притом в такой, у которого есть общий линейный множитель с это означает, что переводится в себя. Следовательно, подстановка принадлежит группе Таким образом, группа состоит из подстановок символов и, которые переводят в линейный множитель многочлена

Подстановки из группы Галуа многочлена это такие подстановки символов а, которые переводят выражение

в сопряженные с ним и для которых, следовательно, элемент удовлетворяет тому же неразложимому уравнению, что и т. е. это такие подстановки которые переводят линейный множитель в другой линейный множитель многочлена Так как то подстановка также переводит линейный множитель в линейный множитель многочлена т. е. а потому и принадлежит группе Верно и обратное утверждение. Следовательно, группа Галуа состоит из тех и только тех подстановок, которые входят в группу нужно только символы а заменить на символы и.

Этот метод определения группы Галуа интересен не столько практически, сколько теоретически; из него получается чисто теоретическое следствие, которое звучит так:

Пусть целостное кольцо с единицей, в котором имеет место теорема об однозначном разложении на простые множители. Пусть у — простой идеал в кольцо классов вычетов. Пусть поля чистных колец Наконец, пусть многочлен из получается из при гомоморфизме причем оба многочлена не имеют кратных корней. Тогда группа уравнения над полем А (как группа подстановок подходящим образом перенумерованных корней) является подгруппой группы уравнения

Доказательство Разложение многочлена

на неразложимые множители в кольце согласно § 30, осуществляется уже в и поэтому его можно перенести с помощью естественного гомоморфизма на

Множители возможно, окажутся разложимыми дальше. Подстановки из группы переводят а потому и в себя, а остальные подстановки символов и переводят Подстановки из группы переводят любой неразложимый множитель многочлена в себя; поэтому они не могут переводить в обязательно переводится в себя, т. е. некоторая подгруппа группы

Эта теорема часто используется для нахождения группы При этом идеал выбирают так, чтобы многочлен был разложим по модулю потому что тогда легче определить группу уравнения Пусть, например, кольцо целых чисел и где простое число Тогда по модулю многочлен представляется в виде

Следовательно,

Группа многочлена циклична, так как группа автоморфизмов поля Галуа обязательно циклична (§ 43). Пусть подстановка, порождающая группу и представляющаяся в виде циклов следующим образом:

Так как области транзитивности группы соответствуют неразложимым множителям многочлена то символы, входящие в циклы должны находиться в точном соответствии с корнями многочленов Как только оказываются известными степенями многочленов оказывается известным и тип подстановки: подстановка состоит тогда из одного -членного цикла, одного ленного цикла и т. д. Так как в соответствии с приведенной выше теоремой при подходящей нумерации корней группа оказывается подгруппой группы группа должна содержать подстановку такого же типа.

Так, например, если целочисленные уравнения пятой степени по модулю какого-либо простого числа распадается в произведение неразложимого множителя второй степени и неразложимого множителя третьей степени, то группа Галуа обязана содержать подстановку типа (1 2) (3 4 5).

Пример. Пусть дано целочисленное уравнение

По модулю 2 левая часть разлагается в произведение

а по модулю 3 она неразложима, потому что иначе у нее был бы множитель первой или второй степени, а потому и общий множитель с (§ 43, задача 6); последнее означает наличие общего множителя либо с либо с что, очевидно, невозможно. Тем самым группа заданного уравнения содержит один пятичленный цикл и произведение Третья степень последней подстановки равна а эта последняя, трансформированная с помощью подстановки и ее степеней, дает цепь транспозиций которые все вместе порождают симметрическую группу. Следовательно, -симметрическая группа.

С помощью установленных фактов можно построить уравнение произвольной степени с симметрической группой; основанием служит следующая теорема: транзитивная группа подстановок степени, содержащая один двойной цикл и один -членный цикл, является симметрической.

Доказательство. Пусть данный -членный цикл. Двойной цикл в силу транзитивности можно перевести в цикл где один из символов от 1 до Трансформирование цикла с помощью цикла и степеней последнего дает циклы а они порождают всю симметрическую группу.

Чтобы на основании этой теоремы построить уравнение степени с симметрической группой, выберем сначала неразложимый по модулю 2 многочлен степени а затем многочлен который по модулю 3 разлагается в произведение неразложимого многочлена степени и линейного многочлена, и, наконец, выберем многочлен степени который по модулю 5 разлагается в произведение квадратного множителя и одного или двух множителей нечетных степеней (все они должны быть неразложимыми по модулю 5). Все это возможно, потому что по модулю любого простого числа существует неразложимый многочлен любой наперед заданной степени (§ 43, задача 6).

В заключение выберем многочлен так, чтобы выполнялись условия:

сделать это всегда возможно. Достаточно, например, положить

Группа Галуа будет тогда транзитивной (так как многочлен неразложим по модулю 2) и будет содержать цикл типа и двойной цикл, умноженный на циклы нечетного порядка. Если это последнее произведение возвести в нечетную степень, подходящим образом подобранную, то получится чистый двойной цикл. Согласно приведенной выше теореме группа Галуа будет симметрической.

С помощью этого метода можно доказать не только существование уравнений с симметрической группой Галуа, но и нечто большее: именно, асимптотически все целочисленные уравнения, коэффициенты которых не превосходят границу стремящуюся к имеют симметрическую группу. См ван дер Варден (van der Waerden В. L.). - Math, Ann., 1931, 109, S 13.

Существуют ли уравнения с рациональными коэффициентами, группа Галуа которых является произвольно заданной группой подстановок, — нерешенная проблема; см. по этому поводу Нётер (Noether Е.). Gleichungen mit vorge-schriebener Gruppe. - Math. Ann., 1917, 78, S. 221-229.

(см. скан)