Главная > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 66. Вычисление группы Галуа.

Уравнения с симметрической группой

Один из методов, с помощью которого можно построить группу Галуа уравнения над полем состоит в следующем.

Пусть — корни уравнения. Построим с помощью переменных выражение

применим к нему всевозможные подстановки переменных и составим произведение

Очевидно, это произведение является симметрической функцией корней и поэтому, согласно может быть выражено через коэффициенты многочлена Разложим многочлен на неразложимые множители в кольце

Постановки которые переводят в себя некоторый сомножитель, скажем, сомножитель составляют группу Мы утверждаем, что группа - это в точности группа Галуа заданного уравнения.

Доказательство. После присоединения всех корней многочлен , а потому и многочлен разлагаются на линейные множители вида коэффициентами которых служат корни расположенные в некотором порядке. Перенумеруем корни так, чтобы содержал множитель В последующем символ будет обозначать подстановку символов , а такую же подстановку символов а. Очевидно, что в таких обозначениях подстановка оставляет выражение цяая инвариантным, т. е.

Если подстановка принадлежит группе т. е. оставляет инвариантным многочлен то переводит каждый множитель многочлена в частности вновь в некоторый линейный множитель многочлена Обратно, если

некоторая подстановка переводит множитель в другой линейный множитель многочлена то она переводит в некоторый неразложимый в кольце многочлен, являющийся делителем многочлена т. е. в один из многочленов и притом в такой, у которого есть общий линейный множитель с это означает, что переводится в себя. Следовательно, подстановка принадлежит группе Таким образом, группа состоит из подстановок символов и, которые переводят в линейный множитель многочлена

Подстановки из группы Галуа многочлена это такие подстановки символов а, которые переводят выражение

в сопряженные с ним и для которых, следовательно, элемент удовлетворяет тому же неразложимому уравнению, что и т. е. это такие подстановки которые переводят линейный множитель в другой линейный множитель многочлена Так как то подстановка также переводит линейный множитель в линейный множитель многочлена т. е. а потому и принадлежит группе Верно и обратное утверждение. Следовательно, группа Галуа состоит из тех и только тех подстановок, которые входят в группу нужно только символы а заменить на символы и.

Этот метод определения группы Галуа интересен не столько практически, сколько теоретически; из него получается чисто теоретическое следствие, которое звучит так:

Пусть целостное кольцо с единицей, в котором имеет место теорема об однозначном разложении на простые множители. Пусть у — простой идеал в кольцо классов вычетов. Пусть поля чистных колец Наконец, пусть многочлен из получается из при гомоморфизме причем оба многочлена не имеют кратных корней. Тогда группа уравнения над полем А (как группа подстановок подходящим образом перенумерованных корней) является подгруппой группы уравнения

Доказательство Разложение многочлена

на неразложимые множители в кольце согласно § 30, осуществляется уже в и поэтому его можно перенести с помощью естественного гомоморфизма на

Множители возможно, окажутся разложимыми дальше. Подстановки из группы переводят а потому и в себя, а остальные подстановки символов и переводят Подстановки из группы переводят любой неразложимый множитель многочлена в себя; поэтому они не могут переводить в обязательно переводится в себя, т. е. некоторая подгруппа группы

Эта теорема часто используется для нахождения группы При этом идеал выбирают так, чтобы многочлен был разложим по модулю потому что тогда легче определить группу уравнения Пусть, например, кольцо целых чисел и где простое число Тогда по модулю многочлен представляется в виде

Следовательно,

Группа многочлена циклична, так как группа автоморфизмов поля Галуа обязательно циклична (§ 43). Пусть подстановка, порождающая группу и представляющаяся в виде циклов следующим образом:

Так как области транзитивности группы соответствуют неразложимым множителям многочлена то символы, входящие в циклы должны находиться в точном соответствии с корнями многочленов Как только оказываются известными степенями многочленов оказывается известным и тип подстановки: подстановка состоит тогда из одного -членного цикла, одного ленного цикла и т. д. Так как в соответствии с приведенной выше теоремой при подходящей нумерации корней группа оказывается подгруппой группы группа должна содержать подстановку такого же типа.

Так, например, если целочисленные уравнения пятой степени по модулю какого-либо простого числа распадается в произведение неразложимого множителя второй степени и неразложимого множителя третьей степени, то группа Галуа обязана содержать подстановку типа (1 2) (3 4 5).

Пример. Пусть дано целочисленное уравнение

По модулю 2 левая часть разлагается в произведение

а по модулю 3 она неразложима, потому что иначе у нее был бы множитель первой или второй степени, а потому и общий множитель с (§ 43, задача 6); последнее означает наличие общего множителя либо с либо с что, очевидно, невозможно. Тем самым группа заданного уравнения содержит один пятичленный цикл и произведение Третья степень последней подстановки равна а эта последняя, трансформированная с помощью подстановки и ее степеней, дает цепь транспозиций которые все вместе порождают симметрическую группу. Следовательно, -симметрическая группа.

С помощью установленных фактов можно построить уравнение произвольной степени с симметрической группой; основанием служит следующая теорема: транзитивная группа подстановок степени, содержащая один двойной цикл и один -членный цикл, является симметрической.

Доказательство. Пусть данный -членный цикл. Двойной цикл в силу транзитивности можно перевести в цикл где один из символов от 1 до Трансформирование цикла с помощью цикла и степеней последнего дает циклы а они порождают всю симметрическую группу.

Чтобы на основании этой теоремы построить уравнение степени с симметрической группой, выберем сначала неразложимый по модулю 2 многочлен степени а затем многочлен который по модулю 3 разлагается в произведение неразложимого многочлена степени и линейного многочлена, и, наконец, выберем многочлен степени который по модулю 5 разлагается в произведение квадратного множителя и одного или двух множителей нечетных степеней (все они должны быть неразложимыми по модулю 5). Все это возможно, потому что по модулю любого простого числа существует неразложимый многочлен любой наперед заданной степени (§ 43, задача 6).

В заключение выберем многочлен так, чтобы выполнялись условия:

сделать это всегда возможно. Достаточно, например, положить

Группа Галуа будет тогда транзитивной (так как многочлен неразложим по модулю 2) и будет содержать цикл типа и двойной цикл, умноженный на циклы нечетного порядка. Если это последнее произведение возвести в нечетную степень, подходящим образом подобранную, то получится чистый двойной цикл. Согласно приведенной выше теореме группа Галуа будет симметрической.

С помощью этого метода можно доказать не только существование уравнений с симметрической группой Галуа, но и нечто большее: именно, асимптотически все целочисленные уравнения, коэффициенты которых не превосходят границу стремящуюся к имеют симметрическую группу. См ван дер Варден (van der Waerden В. L.). - Math, Ann., 1931, 109, S 13.

Существуют ли уравнения с рациональными коэффициентами, группа Галуа которых является произвольно заданной группой подстановок, — нерешенная проблема; см. по этому поводу Нётер (Noether Е.). Gleichungen mit vorge-schriebener Gruppe. - Math. Ann., 1917, 78, S. 221-229.

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru