2. Ряд натуральных чисел вполне упорядочен, потому что в любом непустом подмножестве множества натуральных чисел имеется первый элемент.
3. Множество целых чисел
в «естественном» порядке не является вполне упорядоченным, потому что в нем самом нет первого элемента. Однако его можно вполне упорядочить, если расположить его элементы, например, так:
или, например, так:
где все положительные числа предшествуют остальным.
(см. скан)
Пусть
подмножество частично упорядоченного множества
Если все элементы х из
удовлетворяют условию то
называется верхней границей множества
Если в
существует наименьшая верхняя граница
так что для всех других верхних границ
выполнено условие
то
является однозначно определенной границей и называется верхней гранью множества
Примеры. 1. Верхняя грань множества отрицательных чисел в поле
рациональных чисел равна нулю. 2. Множество натуральных чисел не имеет в
верхней границы и, конечно, не имеет верхней грани. 3. Множество
рациональных чисел х со свойством
имеет в
верхнюю границу 2, но не имеет верхней грани. Однако, если присоединить к
вещественное число
то множество
приобретает верхнюю грань