§ 51. Нормальные и композиционные ряды

Группа называется простой, если в ней нет нормальных подгрупп, отличных от нее самой и единичной подгруппы.

Примеры. Группы простого порядка просты, так как порядок подгруппы должен быть делителем порядка всей группы; следовательно, в такой группе, кроме нее самой и единичной подгруппы, вообще нет подгрупп, а потому нет и нормальных подгрупп. Позднее будет доказано, что знакопеременная группа при проста (§ 53). Любое одномерное векторное пространство является простым, потому что каждое собственное подпространство имеет размерность нуль и состоит из одного лишь нулевого вектора.

Нормальным рядом группы называется последовательность подгрупп в

в которой для подгруппа является нормальной в Число называется длиной нормального ряда. Факторгруппы носят название его факторов. Необходимо заметить следующее: длина есть не число членов ряда (1), а число факторов

Другой нормальный ряд

называется уплотнением первого ряда, если все подгруппы из (1) встречаются и в (2). Например, для группы (§ 6) ряд

(см. § 9, задача 4) является уплотнением ряда

В нормальном ряде любой член может повторяться сколь угодно много раз: Если этого не происходит, говорят о нормальном ряде без повторений. Нормальный ряд

без повторений, который без повторений нельзя уплотнить, называется композиционным. Например, в симметрической группе ряд

является композиционным, а в группе композиционным будет ряд

В обоих случаях исключена возможность дальнейших уплотнений, потому что индексы последующих нормальных подгрупп в предыдущих подгруппах являются простыми числами. Однако существуют и группы, в которых все нормальные ряды обладают уплотнениями; такие группы не имеют, следовательно, композиционных рядов. Примером может служить любая бесконечная циклическая группа: если в ней задан произвольный нормальный ряд без повторений

и например, имеет индекс т. е. то между и всегда есть еще одна подгруппа индекса Нормальный ряд является композиционным тогда и только тогда, когда между двумя любыми его членами нельзя включить какую-либо отличную от нормальную подгруппу, или, что согласно § 50 то же самое, когда группа проста. Простые факторы композиционного ряда называются композиционными. В обоих приведенных выше композиционных рядах все композиционные факторы являются циклическими подгруппами порядков 2, 3, соответственно 2, 3, 2, 2.

Два нормальных ряда называются изоморфными, если все факторы одного из них могут быть отображены изоморфно на переставленные в определенном порядке факторы другого. Например, в циклической группе порядка 6 ряды

изоморфны, потому что факторы первого ряда являются циклическими порядков 2, 3, а факторы второго ряда — циклическими порядков 3, 2. Для обозначения изоморфизма нормальных рядов мы будем в дальнейшем использовать знак Если цепь нормальных подгрупп

заканчивается нормальной подгруппой 51 группы отличной от то говорят о нормальном ряде группы над подгруппой

такому нормальному ряду соответствует нормальный ряд

факторгруппы и наоборот. Факторы второго ряда, согласно второй теореме об изоморфизме, изоморфны факторам первого. Если нормальные ряды

и

изоморфны, то для каждого уплотнения первого ряда можно найти изоморфное ему уплотнение второго. Действительно, каждые фактор изоморфен вполне определенному фактору тем самым каждому нормальному ряду соответствует изоморфный нормальный ряд для а потому и каждому нормальному ряду группы над подгруппой соответствует изоморфный ряд подгруппы над подгруппой

Теперь мы можем доказать основную теорему о нормальных рядах, принадлежащую О. Шрайеру:

Два произвольных нормальных ряда произвольной группы

обладают изоморфными уплотнениями.

Доказательство. Для или теорема очевидна, потому что в этом случае один из рядов имеет вид следовательно, другой является его уплотнением.

Докажем сначала эту теорему для индукцией по а потом для произвольного индукцией по Для второй ряд выглядит так:

Положим тогда и — нормальные подгруппы в Конечно, может оказаться, что или По предположению индукции, ряды длины и длины 2

обладают изоморфными уплотнениями:

В силу первой теоремы об изоморфизме

следовательно,

Правая часть в (3) задает уплотнение левой части из (4), для которого можно найти изоморфное уплотнение правой части:

Из (3) и (5) следует изоморфизм

чем и доказывается теорема для случая

В случае произвольного согласно доказанному мы можем так уплотнить ряд чтобы он стал изоморфным некоторому уплотнению ряда

Входящий в правую часть отрезок ряда и ряд согласно предположению индукции обладают изоморфными уплотнениями:

Левая часть в (7) дает некоторое уплотнение правой части в (6), для которого можно найти изоморфное уплотнение левой части в (6). Следовательно,

[ввиду (7)]

Тем самым теорема полностью доказана.

Если в двух изоморфных рядах вычеркнуть все повторения, то останутся изоморфные ряды. Следовательно, в основной теореме уплотнения, о которых идет речь, можно считать уплотнениями без повторений.

Из основной теоремы о нормальных рядах немедленно получаются две следующие теоремы о группах, обладающих композиционными рядами.

1. Теорема Жордана — Гёльдера. Любые два композиционных ряда одной и той же группы изоморфны.

Действительно, эти ряды совпадают со своими уплотнениями без повторений.

2. Если обладает композиционным рядом, то каждый ее нормальный ряд можно уплотнить до композиционного. В частности, через каждую нормальную подгруппу проходит некоторый композиционный ряд.

Группа называется разрешимой, если у нее есть нормальный ряд, в котором все факторы абелевы. (Примеры: группы — см. выше.)

Из основной теоремы следует, что у разрешимой группы любой нормальный ряд уплотняется до нормального ряда с абелевыми факторами. В частности, если такая группа обладает композиционным рядом, то все факторы последнего — абелевы группы.

(см. скан)