§ 118. Общая теорема о разложении

Начиная с этого места, будем считать, что о — нётерово кольцо. Следовательно, в кольце с будут иметь место теорема о базисе, теорема о цепях делителей, условие максимальности и принцип индукции по делителям.

Идеал называется приводимым, если он представляется в виде пересечения двух своих собственных делителей:

Если же такое представление невозможно, то идеал называется неприводимым.

Примерами неприводимых идеалов служат простые идеалы; действительно, если бы для какого-то простого идеала оказалось выполненным равенство

то были бы справедливы соотношения

что противоречит свойствам простого идеала.

В силу теоремы о цепях делителей, которая имеет место в рассматриваемой ситуации, оказывается выполненной

Первая теорема о разложении. Каждый идеал является пересечением конечного множества неприводимых идеалов.

Доказательство. Для неприводимых идеалов теорема верна. Пусть, таким образом, — приводимый идеал:

Если считать доказываемую теорему верной для всех собственных делителей идеала то она будет верна, в частности, для

идеалов пусть таким образом,

Отсюда следует, что

т. е. теорема верна и для идеала Так как она справедлива и для единичного идеала (всегда неприводимого), то в силу принципа индукции по делителям теорема верна в общем случае.

От представления с помощью неприводимых идеалов мы перейдем к представлению примарными идеалами. Каждый неприводимый идеал примарен.

Доказательство. Пусть идеал не является нримарным. Нужно показать, что приводим.

Так как непримарен, то существуют такие два элемента что

В силу теоремы о цепях делителей ряд частных идеалов

должен на каком-то шаге оборваться, т. е. для некоторого должно быть выполнено равенство

Мы утверждаем теперь, что

Оба идеала в правой части являются делителями идеала и эти делители собственные, так как первый из них содержит элемент а, а второй — степень Мы должны показать, что каждый общий элемент этих двух идеалов обязательно принадлежит Любой такой элемент с, являясь элементом идеала должен иметь вид

с другой стороны, как элемент идеала элемент с обладает свойством

Отсюда следует, что

откуда в силу равенства получаем

Тем самым доказано (1), т. е. идеал оказался приводимым. Так как каждый идеал представляется пересечением конечного множества неприводимых идеалов, а каждый неприводимый идеал примарен, то:

Каждый идеал представляется в виде пересечения конечного множества примарных идеалов.

Эту теорему можно усилить. Прежде всего, из представления

можно исключить идеалы которые содержат пересечения остальных. Так получится несократимое представление, т. е. представление, в котором ни одна из составляющих не содержит пересечение остальных. Может оказаться, что в таком представлении некоторые примарные компоненты задают вновь примарный идеал, т. е. пересечение этих примарных компонент вновь примарно. Следующие предложения показывают, когда этот случай имеет место:

1. Пересечение конечного множества примарных идеалов, ассоциированных с одним простым идеалом, является вновь примарным идеалом, ассоциированным с тем же простым идеалом.

2. Несократимое пересечение конечного множества примарных идеалов, не ассоциированных с одним и тем же простым идеалом, не является примарным.

Эти теоремы выполняются независимо от теоремы о цепях делителей.

Доказательство предложения 1. Пусть

где ассоциированы с идеалом Мы будем основываться на теореме III (§ 117). Из

следует, что

для всех

по крайней мере для одного а отсюда получается, что

Далее, очевидно, что

Наконец, если то

следовательно, если то

Тем самым все свойства, перечисленные в теореме III, налицо. Поэтому идеал примарен и ассоциированный простой идеал.

Доказательство предложения 2. Пусть дано несо кратимое представление

в котором по крайней мере два ассоциированных простых идеала -различны. Мы будем считать с самого начала, что каждая группа примарных идеалов, ассоциированных с одним и тем же простым идеалом и пересекающихся по некоторому примарному идеалу, заменена на это пересечение. Представление при этом останется несократимым.

Среди конечного множества простых идеалов существует минимальный, т. е. такой, который не содержит ни одного из остальных. Пусть таковым является идеал Так как не содержит то существует такой элемент что

поэтому для достаточно большого имеет место соотношение

Если бы было то представление было бы сократимым (можно было бы удалить Следовательно, в существует элемент со свойством

Произведение

принадлежит как так и а потому и идеалу Но элемент не принадлежит идеалу Если бы был примарным, то это означало бы, что

следовательно, так как идеал прост, то

по крайней мере для одного что противоречит сказанному ранее. Если в каком-либо несократимом представлении

все ассоциированные простые идеалы различны, так что никакие два или более идеалов в этом представлении не ассоциированы с одним простым идеалом, то представление называется представлением наибольшими примарными идеалами. Эти наибольшие примарные идеалы называются также примарными компонентами идеала

Любое неприводимое представление можно заменить представлением наибольшими примарными идеалами, группируя примарные идеалы, ассоциированные с одним простым идеалом. Тем самым доказана вторая теорема о разложении:

Каждый идеал допускает несократимое представление в виде пересечения конечного множества примарных компонент. Эти примарные компоненты ассоциированы с попарно различными простыми идеалами.

«Вторая теорема о разложении» была доказана для колец многочленов Ласкером, а в общем случае Нётер; этот результат относится к числу важнейших результатов общей теории идеалов. С приложениями теоремы мы познакомимся в основном в главе 16. В ближайших параграфах мы исследуем вопрос о том, как обстоит дело с однозначностью для примарных компонент.

(см. скан)