§ 150. Дивизоры и их кратные

Пусть К — снова поле алгебраических функций одной переменной над полем констант А. В дальнейшем функции из К будут обозначаться лишь буквами ,

Конечное множество плейсов с произвольно приписанными целыми показателями степени определяют некоторый дивизор поля К. Мы записываем с помощью символа произведения конечного числа сомножителей:

Сомножители в этом произведении могут переставляться произвольным образом. Если некоторый показатель степени равен нулю, то множитель в произведении можно опустить. Если все показатели степени равны нулю, то мы пишем и называем такой дивизор единичным. Если все то называется целым дивизором.

Два дивизора можно перемножить, складывая показатели степени у одинаковых множителей Каждому дивизору с показателями степени можно сопоставить обратный дивизор с показателями степени так что Тем самым дивизоры образуют абелеву группу — группу дивизоров поля К. Отдельные плейсы называются также простыми дивизорами. Они порождают всю группу дивизоров.

Каждая функция определяет некоторый дивизор

где порядок функции относительно Таким образом, каждой константе соответствует единичный дивизор. Произведению соответствует произведение дивизоров

Степень простого дивизора т. е. степеньполя классов вычетов над будет постоянно обозначаться, как и в § 149, через Сумма степеней входящих в (1) множителей

называется степенью дивизора

Вместо пишут просто Функция называется кратной дивизора если целый дивизор, т. е. если для всех плейсов данного поля имеет место неравенство

Таким образом, кратными дивизора являются те функции для которых каждый плейс с является корнем не менее чем порядка, плейс с показателем - полюсом не более чем порядка, а относительно остальных плейсов эти функции остаются конечными, т. е. указанные плейсы не являются их полюсами.

Кратные дивизора образуют некоторый -модуль, который будет обозначаться через Покажем, что имеет конечный ранг над

Пусть Так как в произведение входит лишь конечное число множителей существует лишь конечное множество плейсов которые могут служить полюсами для кратной

дивизора функции Разложение в степенной ряд функции относительно любого такого плейса может быть представлено в виде

где обозначают прежние

Число коэффициентов соответствующих отрицательным степеням равно для фиксированного плейса у; следовательно, суммируя по всем полюсам у с получаем

Докажем теперь, что существует не более линейно независимых кратных дивизора

Действительно, если бы существовали таких кратных то можно было бы построить линейную комбинацию

с постоянными коэффициентами, удовлетворяющую следующему условию: все коэффициенты при отрицательных степенях в разложении функции 2 равны нулю. Это на самом деле линейных условий на коэффициентов Каждое линейное условие, связывающее коэффициенты понижает ранг модуля, состоящего из функций (3), не более чем на 1; следовательно, функции 2, которые удовлетворяют линейным условиям составляют модуль, ранг которого равен или превосходит Но эти функции не имеют полюсов, и, следовательно, в силу теоремы III из § 149 являются константами. Константы составляют модуль ранга 1 над Следовательно, может существовать лишь линейно независимых кратных дивизора т. е. ранг модуля не превосходит

Цель последующего исследования состоит в определении ранга модуля т. е. числа линейно независимых кратных дивизора Число называют также размерностью дивизора А. Проведенное выше доказательство дает для целых дивизоров А неравенство

Говорят, что дивизор делится на дивизор если целый дивизор и, следовательно, для всех Само собой разумеется, что тогда и

Выведем теперь одно неравенство для разности Метод будет таким же, как выше. Пусть кратные дивизора имеют вид

где — константы и Чтобы функция принадлежала не только но и в разложении

все коэффициенты при степенях должны равняться нулю. Это дает для каждой точки линейных условий и, следовательно, всего

линейных уравнений для коэффициентов в (5). Каждое линейное уравнение понижает ранг самое большее на 1; следовательно,

или

Неравенство в (6) имеет место всякий раз, когда А делится на В. Возьмем, в частности, А равным некоторому целому дивизору, а тогда правая часть в (6) равна

и мы заново получаем неравенство (4). Следующая теорема почти очевидна:

Если то модули и имеют одинаковые ранги:

Доказательство. Если — линейно независимые кратные дивизора то

— линейно независимые кратные дивизора и наоборот.

Дивизоры отличающиеся лишь множителем называются эквивалентными. Итак, мы видим, что эквивалентные дивизоры имеют одинаковые размерности.

(см. скан)