§ 35. Результант как симметрическая функция корней

Предположим теперь, что оба многочлена полностью разлагаются на линейные множители:

Тогда коэффициенты а многочлена являются произведениями и элементарных симметрических функций корней равным образом, коэффициенты являются произведениями и элементарных симметрических функций корней Результант является однородным степени по а и однородным степени по следовательно, результант равен произведению на некоторую симметрическую функцию от

Пусть корни рассматриваются сначала как переменные. Многочлен обращается в нуль при так как в этом случае многочлены имеют общий линейный множитель. Поэтому делится на (§ 28). Так как линейные формы попарно взаимно просты, результант делится на произведение

Это произведение можно преобразовать двумя способами. Первый получается из равенства

подстановкой и составлением произведения

таким образом,

Второй способ получается из равенства

и точно так же приводит к

Из (2) усматривается, что является целым и однородным степени по переменным а из (3) видно, что является целым и однородным степени по переменным а. Результант имеет, однако, те же степени по тем же переменным и делится на следовательно, совпадают с точностью до некоторого целочисленного множителя. Сравнение слагаемых, которые содержат наивысшую степень элемента дает слагаемое как в так и в поэтому целочисленный множитель равен 1 и

Таким образом, для получены три представления (1), (2) и (3). В силу теоремы единственноеги из § 33 равенство (2) выполняется тождественно по а (3) тождественно по т. е. (2) имеет место и тогда, когда не разлагается на линейные множители, а (3) справедливо и тогда, когда на линейные множители не разлагается

Отсюда легко следует и неразложимость результанта как многочлена от причем неразложимость не только в смысле целочисленных многочленов, а неразложимость абсолютная, т. е. неразложимость в кольце многочленов над любым полем. Действительно, если бы разлагался на два множителя то можно было бы вновь рассматривать как симметрические функции корней. Так как делится на то А или В — пусть -делится на эту же разность. Но как симметрическая функция, многочлен должен (если он делится на делиться и на все остальные а потому и на произведение

Так как

для другого множителя В остается лишь одна возможность: Но как многочлен от делится либо на либо на поэтому для В остается возможным лишь равенство Тем самым неразложимость многочлена доказана.

Другое доказательство дается в книге Маколей (Macaulay F S). Algebraic theory of modular systems - Cambride, 1916, § 3.

Существует интересная связь между результантом двух многочленов и дискриминантом многочлена. Именно, построим результант для данного многочлена

и его производной тогда согласно (2)

По формуле производной произведения имеем

Подставим это в (4); тогда получится равенство

или, если через обозначить дискриминант многочлена

Если записать как определитель из § 34, то из первого столбца можно будет вынести множитель тем самым становится многочленом от Равенство (5) выполняется, конечно, тождественно по , и не зависит от того, разлагается ли на линейные множители или нет

(см. скан)