§ 39. Простые расширения

Все рассматриваемые в этом параграфе тела предполагаются полями. Пусть снова — произвольный элемент из рассмотрим простое расширение

Это поле содержит, прежде всего, кольцо всех многочленов Сравним с кольцом многочленов от одной переменной х.

С помощью отображения точнее:

кольцо гомоморфно отображается на По теореме о гомоморфизме кольцо оказывается изоморфным кольцу классов вычетов:

где идеал, состоящий из тех многочленов для которых является корнем, т. е. для которых

Так как не содержит делителей нуля, кольцо их также не имеет, в силу чего простой идеал. Далее, идеал не может быть единичным, потому что единичный элемент при гомоморфизме переходит не в нуль, а сам в себя. Так как в каждый идеал является главным, возможны лишь два случая:

1. , где неразложимый в многочлен. Многочлен является многочленом наименьшей степени среди обладающих свойством Следовательно,

Кольцо классов вычетов справа является полем (§ 16); следовательно, также является полем. Таким образом, является искомым простым расширением

2. . Гомоморфизм оказывается изоморфизмом. Кроме нуля, в данной ситуации не существует многочлена со свойством так что с выражениями можно обращаться так, как если бы элемент был переменной х. Кольцо не является в этом случае полем, но из указанного выше изоморфизма следует изоморфизм соответствующих полей частных: поле являющееся полем частных кольца изоморфно полю рациональных функций от одной переменной х.

В первом случае, когда элемент удовлетворяет некоторому алгебраическому уравнению над А, элемент называется алгебраическим над А и поле называется простым алгебраическим расширением поля А. Во втором случае, когда следует, что элемент называется трансцендентным над А, а поле простым трансцендеьттм расширением поля А. Согласно сказанному выше, с трансцендентным над полем элементом можно обращаться так же, как с некоторой новой переменной: . В алгебраическом случае, согласно сказанному выше, имеем

где (неразложимый) многочлен наименьшей степени среди имеющих корень .

Из последнего соотношения в алгебраическом случае получаются следующие утверждения:

а) каждая рациональная функция от может быть записана как многочлен (Потому что определяется как совокупность таких многочленов.)

б) С такими многочленами можно обращаться как с классами вычетов по модулю в кольце многочленов

в) Равенство

можно заменить на сравнение

и наоборот.

г) Так как каждый многочлен по модулю может быть заменен многочленом степени, меньшей где степень многочлена то все элементы из можно представить

д) Так как не удовлетворяет ни одному уравнению степени, меньшей представление

элемента из является единственным.

Уравнение при неразложимом решением или корнем которого является 0, называется уравнением, определяющим поле Степень многочлена называется степенью алгебраического элемента 9 относительно А.

Степень равна 1, когда 8 является решением некоторого линейного уравнения над А, т. е. является элементом самого поля А.

В этом случае можно положить и вышеприведенное утверждение в) вновь приводит к уже доказанному факту: Каждый многочлен с корнем 6 делится на

(см. скан)

Два расширения поля А называются эквивалентными (относительно А), если существует изоморфизм при котором каждый элемент из А переходит в себя (остается неподвижным).

Любые два простых трансцендентных расширения произвольного поля А эквивалентны.

Действительно, с помощью отображения произвольное простое трансцендентное расширение становится эквивалентным полю рациональных функций от одной переменной х.

Два простых алгебраических расширения эквивалентны, если являются корнями одного и того же неразложимого в многочлена в этом случае существует такой изоморфизм между указанными полями, что все элементы из А остаются неподвижными, а переходит в

Доказательство. Элементы из имеют вид а элементы из вид . В обоих случаях эти элементы нужно рассматривать как многочлен по модулю Сопоставление

являетея, следовательно, изоморфизмом нужного типа.

Многочлен неразложимый над А, не обязан оставаться неразложимым над каким-либо расширением . Если в него появляется корень 0, то у него отщепляется по крайней мере один линейный множитель Возможно, в поле многочлен разлагается еще и на другие линейные и нелинейные множители:

Согласно доказанному выше в этом случае поля оказываются эквивалентными, и при изоморфизмах

элемент переходит в

Эквивалентные расширения (как, например, которых есть общее содержащее их поле называют сопряженными (относительно А); элементы переходящие друг в друга при соответствующих изоморфизмах, также называются сопряженными. Из доказанного следует: все корни неразложимого в многочлена принадлежащие расширению О, являются сопряженными относительно А. Обратно, элементы, алгебраические над данным полем и сопряженные над ним, являются корнями одного и того же многочлена потому что при переходе с помощью изоморфизма от из следует

Существование простого расширения. До сих пор было заданным надполем, и структура простого расширения изучалась внутри поля Поставим теперь задачу иначе: дано поле найти расширение где от требуется, чтобы этот элемент был либо трансцендентным либо корнем наперед заданного многочлена из

Если должен быть трансцендентным элементом, то решить задачу просто: в качестве возьмем переменную и построим кольцо многочленов а затем его поле частных являющееся полем рациональных функций переменной х. Как мы видели, поле является единственным простым трансцендентным расширением поля А с точностью до эквивалентности расширений. Тем самым получилось утверждение:

Существует и притом только одно с точностью до эквивалентности простое трансцендентное расширение заданного поля А.

Если же элемент должен быть алгебраическим, а именно — корнем некоторого неразложимого в многочлена то прежде всего мы можем считать, что не является линейным, так как иначе достаточно было бы положить

Искомое поле согласно сказанному выше должно быть изоморфно полю классов вычетов:

В такой ситуации каждому многочлену из сопоставляется некоторый класс вычетов из 2 и это сопоставление оказывается гомоморфизмом. В частности, любой константе а из А соответствует класс вычетов а и это отображение поля А является не только гомоморфным, но и изоморфным, так как нуль является единственной константой, сравнимой с по модулю Следовательно, согласно изложенному в конце § 12 в поле 2 мы можем заменить классы вычетов а на соответствующие им элементы а из таким образом, поле 2 переходит в поле 2, которое содержит поле А и изоморфно полю 2.

Многочлену х сопоставляется класс вычетов, который можно обозначить через Следовательно, в поле 2 мы можем построить поле (Впрочем, в чем нетрудно убедиться.) Из

с помощью гомоморфизма следует, что

а отсюда

если заменить на Следовательно, элемент является корнем многочлена

Итак, доказано следующее предложение:

Для произвольно заданного поля А существует одно (и с точностью до эквивалентности расширений только одно) простое алгебраическое расширение такое, что 6 является элементом, удовлетворяющим уравнению где неразложимый многочлен из

Процессу символического присоединения с помощью кольца классов вычетов и символа можно противопоставить несимволическое присоединение, которое возможно тогда, когда с самого начала задано содержащее все рассматриваемые элементы поле и когда изначально задан элемент с требуемыми свойствами. Например, если А — поле рациональных чисел, то несимволическое присоединение какого-либо алгебраического числа, т. е. корня какого-либо алгебраического уравнения, достигается тем, что за основу берется трансцендентным образом построенное ноле

комплексных чисел в котором согласно «основной теореме алгебры» каждое уравнение с числовыми рациональными коэффициентами имеет решение. Описанное выше символическое присоединение позволяет избежать этого трансцендентного пути, определяя непосредственно алгебраическое число как символ класса вычетов, подчиненный соответствующим правилам действий. При этом не вводятся отношения порядка или свойства вещественности. Но тем не менее как на символическом, так и на несимволическом пути получается одно и то же поле потому что в силу доказанного в начале все расширения в которых удовлетворяют одному и тому же неразложимому уравнению, эквивалентны.

Более точные сведения о поведении алгебраических соотношений содержатся в главах 10 и 11.

(см. скан)