§ 81. Алгебраическая теория вещественных полей

Упорядоченные поля, в частности, поля вещественных чисел обладают тем свойством, что суммы квадратов в таких полях обращаются в нуль только тогда, когда равны нулю все слагаемые. Или, что равносильно: элемент —1 не представляется в виде суммы квадратов. Поле комплексных чисел этим свойством не обладает, потому что в нем —1 является квадратом. Мы покажем сейчас, что указанное свойство характерно для полей вещественных алгебраических чисел и полей, сопряженных с таковыми (в поле всех алгебраических чисел); это свойство может быть также использовано для алгебраического построения полей вещественных алгебраических чисел и сопряженных с ними полей. Следуя Артину и Шрайеру, мы введем понятие формально вещественного поля:

Поле называется формально вещественным, если —1 не представляется в нем в виде суммы квадратов.

Формально вещественное поле обязательно имеет характеристику нуль; действительно, в любом поле характеристики элемент — 1 является суммой слагаемых 1. Очевидно, что всякое подполе формально вещественного поля тоже формально вещественно.

Поле называется вещественно замкнутым, если само оно формально вещественно, но любое его собственное алгебраическое расширение формально вещественным не является.

Теорема 1. Каждое вещественно замкнутое поле может быть упорядочено одним и только одним способом.

Пусть вещественно замкнутое поле. Докажем следующее:

Если а — отличный от элемент из то либо а является квадратом, либо —а является квадратом, и эти случаи исключают друг друга. Суммы квадратов элементов из сами являются квадратами.

Теорема 1 отсюда немедленно следует. Действительно, полагая в том случае, когда а — квадрат, отличный от нуля, мы определим, очевидно, упорядочение на которое является единственно возможным, потому что каждый квадрат должен быть неотрицательным при любом упорядочении.

Если у не является квадратом элемента из то, обозначая через корень многочлена мы получаем собственное алгебраическое расширение поля не являющееся формально вещественным. По этой причине имеет место равенство

или

где принадлежат Отсюда следует, что последнее слагаемое должно быть нулевым, потому что иначе элемент У у принадлежал бы полю что противоречит предположению. Наоборот, первое слагаемое не может обратиться в нуль, так как в противном случае поле не было бы формально вещественным. Отсюда мы заключаем, прежде всего, что не представляется в в виде суммы квадратов, так как иначе мы получили бы и для —1 представление в виде суммы квадратов. Проведенные рассуждения доказывают следующее: если у не является квадратом, то оно не является и суммой квадратов. Или, в позитивной форме: каждая сумма квадратов в является в квадратом.

Мы получили, что

Числитель и знаменатель этого выражения являются суммами квадратсв, а потому просто квадратами; отсюда где с — элемент поля Следовательно, для каждого элемента из имеет место по крайней мере одно из равенств: или — Но если то оба равенства одновременно не могут иметь места, так как иначе выполнялось бы равенство чего быть не может.

На основании теоремы 1 мы будем предполагать в дальнейшем, что вещественно замкнутые поля упорядочены.

Теорема 2. В любом вещественно замкнутом поле каждый многочлен нечетной степени имеет по крайней мере один корень.

Эта теорема для степени 1 тривиальна. Предположим, что она уже доказана для всех стененей, меньших и пусть произвольный многочлен нечетной степени Если разложим в вещественно замкнутом поле то у него есть по

крайней мере один неразложимый множитель нечетной степени, меньшей а потому, в силу индуктивного предположения, и корень в поле Приведем теперь предположение о том, что многочлен неразложим, к противоречию. Действительно, пусть а — символически присоединенный корень многочлена Поле не может быть формально вещественным; поэтому

где многочлены степени не выше коэффициентами из Из (1) получается тождество

Сумма многочленов имеет четную степень, так как старшие коэффициенты являются квадратами и, следовательно, при сложении не дают нуль. Далее, степень положительна, так как иначе уже (1) давало бы противоречие. Поэтому имеет нечетную степень, не превосходящую ; следовательно, обладает в некоторым корнем а. Подставим а в (2); тогда

что и приводит к противоречию, так как элементы лежат в поле

Теорема 3. Вещественно замкнутое поле не является алгебраически замкнутым. Но в результате присоединения элемента получается алгебраически замкнутое поле

Первая половина утверждения тривиальна. Действительно, уравнение неразрешимо в любом формально вещественном поле.

Вторая половина следует непосредственно из следующего утверждения.

Теорема 3а. Если в некотором упорядоченном поле К каждый положительный элемент обладает квадратным корнем и каждый многочлен нечетной степени обладает по крайней мере одним корнем, то в результате присоединения элемента получается алгебраически замкнутое поле.

Прежде всего заметим, что в поле каждый элемент обладает квадратным корнем и поэтому каждое квадратное уравнение разрешимо. Доказательство проводится с помощью такого же вычисления, как и для поля комплексных чисел в § 80.

Для доказательства того, что поле алгебраически замкнуто, согласно § 72 достаточно показать, что каждый неразложимый над К многочлен обладает в некоторым корнем. Пусть многочлен без кратных корней, имеющий степень где нечетное число. Мы проведем индукцию пот. Предположим, что каждый многочлен без кратных корней с коэффициентами из К, степень которого делится на но не делится на обладает в некоторым корнем. Для это имеет место по условию. Пусть корни многочлена в некотором расширении поля К. Выберем элемент с из К так, чтобы выражений для имели различные значения. Так как эти выражения, очевидно, удовлетворяют некоторому уравнению степени над К, то, по предположению, по крайней мере один из них лежит в например, элемент . В силу требования, которому подчинен элемент с, имеет место равенство (см. § 46)

таким образом, можно найти как решения некоторого квадратного уравнения над

Одновременно с этим мы получаем из теоремы За, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Это — «основная теорема алгебры».

Теорема, обратная к теореме 3, звучит так: Теорема 4. Если формально вещественное поле К становится алгебраически замкнутым при присоединении элемента то оно вещественно замкнуто.

Доказательство. Между нет промежуточных полей; поэтому поле К не имеет алгебраических расширений, отличных от себя самого и от поля Поле не является формально вещественным, так как —1 является в нем квадратом. Следовательно, поле К вещественно замкнуто.

Из теоремы 4, в частности, следует, что поле вещественных чисел вещественно замкнуто.

Корни уравнения с коэффициентами из некоторого вещественно замкнутого поля К лежат в и входят в это поле, если только они не принадлежат самому К, вместе со своими сопряженными элементами (над К). Если а некоторый корень, то сопряженный с ним корень. Если в разложении многочлена на линейные множители сгруппировать те из них, которые соответствуют сопряженным корням, в пары, то. получится разложение многочлена на линейные и квадратные множители, неразложимые над К.

Мы можем теперь доказать «теорему Вейерштрасса о корнях» для многочленов (§ 79) над любым вещественно замкнутым полем.

Теорема 5. Пусть многочлен с коэффициентами из вещественно замкнутого поля элементы из для которых Тогда существует по крайней мере один элемент с в заключенный между для которого

Доказательство. Как мы видели выше, многочлен разлагается над на линейные и квадратные неразложимые множители. Любой неразложимый над квадратный многочлен имеет только положительные значения, потому что его можно представить в виде где первое слагаемое неотрицательно, а второе в силу предположения о неразложимости строго положительно. Поэтому перемена знака многочлена может происходить лишь из-за перемены знака некоторого линейного множителя, который должен по этой причине иметь корень в промежутке от а до

В силу этой теоремы для вещественно замкнутого поля оказываются справедливыми все следствия, которые выводились в § 79 из теоремы Вейерштрасса о корнях, в частности, теорема Штурма о вещественных корнях.

В заключение будет доказана

Теорема 6. Пусть К — упорядоченное поле и К — поле, которое получается из К присоединением квадратных корней из всех положительных элементов поля К. Тогда поле К формально вещественно.

Очевидно, достаточно показать, что не может иметь места равенство вида

где положительные элементы из элементы из К. Предположим, что такое соотношение имеет место. В элементах могут встретиться лишь в некотором конечном числе квадратные корни которые были присоединены к полю К. Будем считать, что среди всех равенств вида (3) мы выбрали и рассматриваем такое, в котором принимает наименьшее возможное значение. (Обязательно так как в К не существует равенства вида Каждый элемент представляется в виде где лежат в поле Таким образом,

Если бы в (4) последнее слагаемое равнялось нулю, то это равенство имело бы такой же вид, как и равенство (3), но в него входило бы менее квадратных корней. Если же это последнее слагаемое не обращается в нуль, то принадлежит полю и (3) можно записать менее, чем с квадратными корнями. Таким образом, наше предположение в любом случае приводит к противоречию.

(см. скан)