Глава первая. ЧИСЛА И МНОЖЕСТВА

Так как в книге используются логические и общематематические понятия, не очень знакомые начинающему математику, то мы должны начать с посвященного им короткого раздела. При этом мы не будем вдаваться в трудности, связанные с основаниями математики, а будем повсюду придерживаться «наивной точки зрения», избегая определений, содержащих порочный круг и приводящих к парадоксам. Более подготовленному читателю в этой главе следует лишь запомнить смысл символов а все остальное можно пропустить.

§ 1. Множества

В качестве отправного пункта всех математических рассмотрений мы мыслим себе некоторые доступные представлению объекты, как-то: цифры, буквы или их комбинации. Свойство, которым обладает или не обладает каждый такой объект в отдельности, приводит к понятию множества или класса; элементы множества — это те самые объекты, которые обладают данным свойством. Символическая запись

означает: а — элемент множества Пользуясь образным геометрическим языком, говорят также: а лежит в Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента.

Мы допускаем рассмотрение последовательностей и множеств чисел (или букв и т. д.) как элементов или объектов новых множеств (называемых иногда множествами второй ступени). Множества второй ступени снова могут служить элементами множеств более высокой ступени и т. д., однако мы остерегаемся употреблять понятия типа «множество всех множеств», так как они приводят к противоречиям; наоборот, мы будем строить новые множества из объектов некоторой заранее очерченной категории (которой новые множества еще не принадлежат).

Если все элементы некоторого множества являются одновременно элементами множества то называется подмножеством или частью множества пишут:

Множество называется надмножеством или объемлющим множеством множества пишут

Из и следует

Пустое множество содержится в любом множестве. Если одновременно все элементы из содержатся в и все элементы из содержатся в то множества называются равными, пишут

Равенство означает также одновременное выполнение соотношений

Иначе: два множества равны, если они содержат одни и те же элементы.

Если но не равно то называется собственным подмножеством множества собственным надмножеством множества пишут

Запись означает, таким образом, что все элементы из лежат в и что, кроме того, в существует элемент, не лежащий в

Пусть теперь произвольные множества. Множество состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат и А, и В, называется пересечением множеств и обозначается через

Множество является подмножеством как в А, так и в В, и любое множество с этим свойством содержится в

Множество V, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат по крайней мере одному из множеств называется объединением множеств и обозначается через

Множество V содержит как так и В, и любое множество, обладающее этим свойством, содержит

Аналогично определяются пересечение и объединение произвольного множества множеств Пересечение (т. е. множество элементов, принадлежащих всем множествам множества 2) обозначается через

Два множества называются непересекающимися, если их пересечение пусто, т. е. если оба множества не содержат ни одного общего элемента.

Если множество задается перечнем своих элементов, скажем, множество состоит из элементов a, b, c, то пишут

Этот способ записи оправдывается тем, что, согласно определению равенства множеств, любое множество определяется заданием его элементов. Определяющее свойство, которое выделяет элементы множества состоит в следующем: совпадает ли тот или иной элемент или .