§ 30. Разложение на множители

В § 18 мы уже видели, что в кольце многочленов над полем К выполняется теорема об однозначном разложении на простые множители. Сейчас мы докажем более общую основную теорему:

Если целостное кольцо с единицей имеет место теорема об однозначном разложении на простые множители, то и в кольце многочленов эта теорема оказывается выполненной.

Приводимое здесь доказательство восходит к Гауссу.

Пусть произвольный ненулевой многочлен из о

Наибольший общий делитель коэффициентов в кольце (ср. § 18, задача 7) назовем содержанием многочлена Если вынести за скобки, то получится равенство

в котором является многочленом с содержанием 1. Многочлен и скаляр определены однозначно с точностью до обратимых множителей.

Лемма 1. Произведение двух многочленов с содержанием 1 вновь является многочленом с содержанием 1. Доказательство. Пусть

и

— данные многочлены с содержанием 1. Допустим, что наибольший общий делитель коэффициентов многочлена равен и необратим. Если произвольный простой делитель элемента то должен быть делителем всех коэффициентов произведения Пусть первый из коэффициентов многочлена который не делится на коэффициент многочлена с аналогичным свойством.

Коэффициент при в произведении выглядит так:

Эта сумма должна делиться на Все ее слагаемые, за исключением первого, должны делиться на Следовательно, также должно делиться на так что или должно делиться на что противоречит предположению.

Пусть -поле частных кольца (§ 13). Тогда каждый многочлен кольца разлагается на простые множители однозначно (§ 18). Чтобы перейти от разложения в к разложению в воспользуемся следующей процедурой: каждый многочлен кольца можно представить в виде (где принадлежит кольцу кольцу причем является произведением знаменателей коэффициентов многочлена Многочлен же можно записать в виде произведения его содержания на многочлен с содержанием 1:

и

Мы утверждаем теперь следующее:

Лемма 2. Указанный в равенстве (1) многочлен с содержанием 1 определяется многочленом однозначно с точностью до обратимых в элементов. Обратно, многочлен определяется многочленом однозначно с точностью до обратимых в элементов. Если таким способом сопоставить каждому из многочлен с содержанием 1, то произведению двух многочленов будет соответствовать с точностью до обратимых множителей произведение соответствующих многочленов с содержанием 1 (и обратно). Если многочлен неразложим в то и многочлен неразложим в (и обратно).

Доказательство. Пусть даны два различных представления многочлена

Тогда

Содержание левой части равно а содержание правой равно следовательно,

где обратимый элемент кольца Подставим это в (2) и сократим на

Таким образом, многочлены отличаются друг от друга обратимым в множителем.

Для произведения двух многочленов

мы немедленно получаем

и согласно лемме 1 произведение вновь является многочленом с содержанием 1. Следовательно, произведению соответствует произведение

Наконец, если неразложимый многочлен, таким же будет и потому что любое разложение сразу же приводит к разложению

Обратное утверждение получается точно так же.

Лемма 2 доказана.

С помощью леммы 2 однозначность разложения многочленов немедленно переносится на соответствующие многочлены с содержанием 1. Итак: многочлены с содержанием 1 разлагаются на простые множители однозначно с точностью до обратимых элементов, причем эти простые множители снова являются многочленами с содержанием 1.

Рассмотрим теперь разтожение на множители произвольного многочлена в Неразложимые многочлены обязательно являются или неразложимыми константами или неразложимыми многочленами с содержанием 1, потому что любой другой многочлен разложим в произведение своего содержания и многочлена с содержанием 1. Следовательно, чтобы разложить какой-либо многочлен нужно сначала разложить в произведение его содержания и многочлена с содержанием 1, а потом каждый из этих сомножителей разлагать на простые множители. В силу предпосылок основной теоремы разложение содержания осуществить можно, и притом однозначно с точностью до обратимых элементов; разложение же на простые множители многочлена с содержанием 1 также возможно в силу доказанного выше. Тем самым основная теорема доказана.

Попутно мы получили следующий важный результат:

Если многочлен из разложим в то он разложим уже в

Действительно, в силу того, что многочлену соответствует некоторый многочлен с содержанием 1, а согласно лемме 2 разложение многочлена в приводит к разложению многочлена но если неразложим, то неразложим и

Например, любой многочлен с целыми рациональными коэффициентами, который разлагается над рациональными числами, оказывается разложимым уже над целыми числами. Итак: если целочисленный многочлен неразложим над целыми числами, то он неразложим и над рациональными числами.

С помощью индукции из основной теоремы получается следующий результат:

Если целостное кольцо с единицей и в имеет место теорема об однозначном разложении на множители, то она справедлива и в кольце многочленов

Отсюда, среди прочего, получается однозначность разложения для целочисленных многочленов (от произвольного числа переменных), для многочленов с коэффициентами из произвольного поля и т. д.

Понятие многочлена с содержанием 1, фигурирующее в приведенных выше леммах Гаусса, в особенности используется при исследовании колец многочленов от большого числа переменных.

Если К — поле, то многочлен из называется многочленом с содержанием 1 относительно если его содержание как многочлена с коэффициентами из целостного кольца равно 1, т. е. если он не имеет делителей, отличных от констант и зависящих лишь от

(см. скан)