§ 18. Разложение на множители

В этом параграфе мы будем рассматривать лишь целостные кольца с единицей Прежде всего выясним, какие элементы в таких кольцах следует считать простыми или неразложимыми. При этом мы будем рассматривать, даже если это специально и не оговорено, лишь ненулевые элементы.

Обычное простое число в кольце целых чисел всегда можно разложить на множители и даже двумя способами:

Однако в такой ситуации один из сомножителей обязательно является «обратимым», т. е. таким числом обратное к которому снова принадлежит данному кольцу. Числа +1 и -1 являются обратимыми целыми числами.

Если, более общо, задано целостное кольцо с единичным элементом, то под обратимым элементом, или под делителем единицы, или просто под единицей подразумевается такой элемент для которого в кольце существует обратный Очевидно, что тогда и является обратимым элементом.

Каждый элемент кольца а допускает представление в виде

где любой делитель единицы. Такие разложения, в которых один из сомножителей является обратимым, называются тривиальными.

Элемент допускающий лишь тривиальные разложения, т. е. такие, что из следует, что либо а либо обратим, называется неразложимым или простым элементом. (В частном случае целых чисел принято еще название простое число, а в случае многочлена — неприводимый многочлен.)

Элементы отличающиеся лишь обратимым множителем, иногда называют ассоциированными. Каждый из них является делителем другого, и для соответствующих главных идеалов имеют место соотношения

тем самым два ассоциированных элемента порождают однн и тот же главный идеал.

Обратно, если каждый из двух элементов является делителем другого:

то

откуда следует, что обратимы и а ассоциирован с

Если с — делитель элемента а, но не ассоциирован с а, т. е. не является обратимым, то с называется собственным делителем элемента а. В этом случае а не является делителем с и идеал (с) является собственным делителем идеала (а). Действительно, если бы а был делителем элемента с, скажем, то выполнялись бы равенства

и элемент был бы обратимым.

Простой элемент можно теперь определить как такой ненулевой элемент, у которого нет необратимых собственных делителей.

Если в евклидовом кольце элемент является собственным делителем элемента а, то

Доказательство. Деление элемента на элемент а ввиду условия невозможно; поэтому

Отсюда следует, что если то

В евклидовом кольце каждый ненулевой элемент а является произведением простых элементов:

Замечание. Эту теорему можно доказать в более общей ситуации для колец главных идеалов, но тогда пришлось бы использовать аксиому выбора (§ 69). В данной элементарной части книги аксиома выбора не обсуждается, поэтому доказательство проводится только для евклидовых колец.

Доказательство. Проведем индукцию по числу Пусть утверждение верно для всех тех элементов для которых и нусть Если элемент а прост, то доказывать нечего. Если же элемент а разложим: где — собственные делители элемента а, то

По предположению индукции элементы и с являются произведениями простых элементов. Следовательно, также является произведением простых элементов.

Выясним теперь, как обстоит дело с однозначностью разложения на простые множители и при этом рассмотрим не только евклидовы кольца, но и произвольные кольца главных идеалов.

В произвольном кольце главных идеалов неразложимый элемент, отличный от обратимого, порождает максимальный идеал (кольцо классов вычетов по которому является, следовательно, полем).

Доказательство. Если элемент неразложим, то у него нет необратимых собственных делителей; следовательно, с учетом того, что каждый идеал по условию является главным, идеал не имеет собственных делителей, кроме единичного идеала.

Замечание. Конечно, разрешимость уравнения в кольце классов вычетов или сравнения в заданном кольце можно было бы вывести из того факта, что для обязательно следовательно,

Вот непосредственное следствие этого утверждения.

Если некоторое произведение делится на простой элемент то один из сомножителей должен делиться на потому что в кольце классов вычетов нет делителей нуля.

(см. скан)

Задача 2. Если в некотором кольце главных идеалов произведение делится на с и элемент а взаимно прост с элементом с, то делится на с.

Мы в состоянии теперь доказать теорему об однозначности разложения на простые множители в кольце главных идеалов. Пусть

— два разложения одного и того же элемента а в кольце главных идеалов. Тривиальный случай, в котором а является обратимым и, следовательно, все и обратимы, мы исключим сразу. Поэтому можно предположить, что необратимы и что все участвующие в выражении (1) делители единицы уже объединены с элементами и соответственно Следовательно, не являются обратимыми. Утверждается: имеет место равенство и элементы совпадают с элементами с точностью до порядка их следования и с точностью до умножения на обратимые элементы.

Для утверждение очевидно, потому что в силу неразложимости элемента произведение может содержать лишь один множитель Таким образом, мы можем провести индукцию по Так как входит в произведение элемент должен входить в один из сомножителей Перенумеровав элементы мы можем добиться того, чтобы входил именно в

Здесь должно быть делителем единицы, так как иначе не был бы простым элементом. Подставим (2) в (1) и сократим на

По предположению индукции сомножители в (3) слева и справа совпадают с точностью до делителей 1. Так как и совпадает с с точностью до обратимого элемента все требуемое доказано.

Из доказанных теорем следует: все элементы евклидова кольца однозначно с точностью до делителей единицы и порядка следования множителей разлагаются в произведение простых элементов. В частности, это утверждение выполняется в кольце целых чисел, в кольце многочленов от одной переменной с коэффициентами из некоторого поля, а также в кольце целых гауссовых чисел.

(см. скан)

(см. скан)

В следующей главе мы увидим, что, кроме колец главных идеалов, существуют еще и другие кольца, в которых выполняется теорема об однозначном разложении на множители. Для всех таких колец мы докажем лишь следующую теорему:

Если в кольце с каждый элемент единственным образом разлагается на простые элементы, то каждый неразложимый элемент порождает простой идеал, а каждый отличный от нуля разложимый элемент порождает непростой идеал.

Доказательство. Пусть неразложимый элемент. Если то, следовательно, элемент должен содержаться в разложении на простые множители. Это разложение получается, однако, объединением разложений для а и для Следовательно, элемент должен входить уже в а или в а потому справедливо одно из сравнений: или

Пусть теперь разложимый элемент: т.е. собственные делители элемента Тогда Идеал не является, следовательно, простым.

(см. скан)