§ 67. Нормальные базисы

Под нормальным базисом расширения 2 поля А подразумевается такой базис, у которого элементы переставляются группой Галуа

Можно доказать, что нормальный базис всегда существует. Доказательство, которое мы здесь приведем, следуя Артину, относится к случаю бесконечного основного поля Случай конечного поля мы рассмотрим позднее.

Пусть примитивный элемент и минимальный многочлен для а:

В кольце многочлен полностью разлагается на линейные множители:

Элементы группы переводят а в сопряженные элементы являющиеся попарно различными. При подходящей перенумерации автоморфизов получаются равенства

Построим кольцо классов вычетов кольца многочленов по модулю многочлена

Элементы кольца представляются многочленами с коэффициентами из 2 степени не выше, чем :

Константы являющиеся классами вычетов, как обычно, будут отождествляться с элементами поля 2. Класс вычетов, который представляет переменная х, обозначим через Тогда класс вычетов, который представляет многочлен имеет вид

где все пробегают значения от до

В кольце классов вычетов лежат два изоморфных подполя Каждый элемент из согласно (4) однозначно представляется в виде суммы произведений составленных из базисных элементов поля 2 и базисных элементов поля 2, с коэффициентами из А. Кольцо называется прямым произведением алгебр 2 и 2 над А и обозначается через

Покажем, что представляется как прямая сумма изоморфных полей

Согласно интерполяционной формуле Лагранжа каждый многочлен из степени, не большей представляется с помощью значений в виде

При этом является многочленом из который в точке принимает значение 1, а в остальных точках равен нулю:

Если опять перейти к классам вычетов по модулю то из (5) получится

где

В равенстве (7) слева стоит совершенно произвольный элемент (4) из кольца Коэффициенты справа являются элементами поля 2. Из (7) следует, что элементы составляют некоторый базис кольца над полем 2:

Выберем в (7) в качестве константу 1; тогда получится

Произведение двух многочленов при делится на Если перейти опять к классам вычетов по модулю то получится

Умножим (10) слева и справа на тогда получится

Когда у пробегает поле , произведения пробегают поле изоморфное полю , потому что сопоставление является, очевидно, изоморфизмом. Единичным элементом в является

Выберем в (7) в качестве многочлен с коэффициентами из тогда слева получится произвольный элемент поля 2. Умножим обе части в (7) еще на тогда получится

Если пробегает все элементы из , то пробегает все элементы из ; таким образом, из (13) получается

Итак, разложение (9) можно записать также в виде

т. е. элементы составляют некоторый базис кольца над полем .

Автоморфизмы а поля могут быть распространены на кольцо если условиться, что они сохраняют переменную Таким образом, автоморфизм а будет действовать лишь на коэффициенты многочленов (3). Если теперь опять перейти к классам вычетов по модулю то получатся автоморфизмы кольца которые переставляют между собой элементы но каждый элемент поля оставляют на месте.

В частности, применим автоморфизм к определенному с помощью (6) многочлену тогда получится

и, следовательно,

Отсюда следует, что

Таким образом, элементы составляют некоторый нормальный базис кольца над полем .

Пусть теперь произвольный базис поля 2 над полем А. Многочлены могут быть выражены через этот базис так:

где многочлены с коэффициентами из А. Опять-таки перейдем к классам вычетов; получим

где классы вычетов многочленов по модулю Так как составляют линейно независимый базис кольца над полем 2, то определитель элементов отличен от нуля. Следовательно, определитель многочленов отличен от нуля.

Так как основное поле предполагается бесконечным, в качестве х можно подобрать такое значение а из А, что

Подставим это значение а в (18); тогда получатся новые базисные элементы

которые в силу (19) составляют линейно независимый базис поля 2 над А.

Применим к автоморфизм тогда в силу (16) получится, что

составляют некоторый нормальный базис поля 2 над полем А. Тем самым случай бесконечного поля А рассмотрен полностью.

Если является конечным полем из элементов, то и является конечным. Группа Галуа поля над состоит тогда из степеней

автоморфизма а, который определяется равенством

и оставляет элементы поля неподвижными. Нам нужно доказать, что в 2 существует такой элемент что элементы

линейно независимы над Тогда эти элементы будут составлять нормальный базис поля.

Идея доказательства та же, что и в доказательстве существования примитивного корня из единицы степени Тогда мы рассматривали мультипликативную группу корней степени из единицы; теперь же мы рассматриваем группу элементов поля 2. В качестве области мультипликаторов в данном случае возьмем кольцо многочленов Произведение многочлена

на элемент из определяется равенством

Точно так же, как в случае мультипликативной группы, каждому элементу сопоставлялось целое число — порядок так теперь каждому мы сопоставим минимальный многочлен определенный как многочлен наименьшей степени со свойством . В первом случае число было делителем порядка группы а теперь минимальный многочлен является делителем многочлена который в силу равенства обращается в нуль на всех элементах Так же, как раньше разлагалось в произведение простых множителей так теперь многочлен в кольце разлагается на простые множители Так же, как раньше для каждого существовало число которого степень была отлична от 1, так теперь существует элемент который не является корнем многочлена Действительно, многочлен имеет степень, не превосходящую числа а автоморфизмы линейно независимы; следовательно, существует элемент который не является корнем многочлена Умножим это на подобно тому, как раньше элемент а; возводился в степень; у нас получится элемент минимальный многочлен которого — это в точности . В предыдущем случае было показано, что произведение всех имеет порядок точно так же сумма

является корнем многочлена Многочлен степени, меньшей чем не может иметь в качестве корней элементы следовательно, — линейно независимые элементы, и мы получили нормальный базис.

Задача 1. Провести последнее доказательство во всех деталях.

(см. скан)