§ 16. Делимость. Простые идеалы

Пусть некоторый идеал (или, более общо, модуль) в кольце о. Если а — элемент из то можно записать, что в этом случае говорят, что а делится на идеал Если все элементы некоторого идеала (или модуля) а делятся на то (следуя Дедекинду) говорят, что а делится на Это означает не что иное, как то, что идеал а является подмножеством идеала Обозначение:

Идеал а называют кратным или, как теперь часто говорят, подидеалом идеала Точно так же называется делителем или надидеалом идеала а. Если, кроме того, то называют собственным делителем идеала собственным кратным идеала

В случае главных идеалов коммутативного кольца с единицей сравнение означает не что иное, как равенство и понятие делимости в смысле теории идеалов переходит в обычное понятие делимости элементов.

Начиная с этого места, все рассматриваемые кольца будут считаться коммутативными.

Под простым идеалом кольца о подразумевается такой идеал кольцо классов вычетов которого является целостным, т. е. не содержит делителей нуля,

Если по-прежнему классы вычетов обозначать надстрочной чертой, то для простого идеала сказанное означает:

из должно следовать

Или, что то же самое, из

должно следовать

для произвольных из о. Словами: произведение двух элементов должно делиться на идеал только тогда, когда на делится один из сомножителей.

Очевидно, что единичный идеал всегда простой, потому что предположение вообще не может быть выполнено. Нулевой идеал является простым тогда и только тогда, когда кольцо о — целостное.

Другими примерами простых идеалов могут служить главные идеалы кольца целых чисел порожденные простыми числами, о чем будет сказано ниже.

Идеал кольца называется максимальным или не имеющим делителей, если он не содержится ни в каком другом идеале из о, кроме самого с; другими словами, — если у него нет других собственных делителей, кроме единичного идеала . Так, например, названные выше простые главные идеалы максимальны.

Каждый отличный от о максимальный идеал в кольце с единицей является простым и кольцо классов вычетов является полем. Наоборот, если поле, то максимальный идеал.

Доказательство. Требуется решить в кольце классов вычетов уравнение при Пусть произвольно. Идеал и элемент а вместе порождают некоторый идеал, который является делителем идеала и притом собственным делителем, потому что он содержит а. Следовательно, этот идеал равен о. Поэтому произвольный элемент кольца о можно представить в виде

С помощью гомоморфизма из о в кольцо классов вычетов получается равенство

чем и решается уравнение

Таким образом, кольцо классов вычетов является полем. Так как в поле нет делителей нуля, идеал является простым.

Наоборот, если - поле и собственный делитель идеала , а — элемент из , не принадлежащий то сравнение

разрешимо при любом Следовательно,

и, так как произвольный элемент изо, имеем

Однако, не каждый простой идеал является максимальным; это показывает уже пример нулевого идеала в кольце целых чисел. Другим, менее тривиальным примером может служить идеал в кольце целочисленных многочленов он имеет в качестве собственного делителя идеал Как легко видеть, оба идеала и простые.

(см. скан)

НОД и НОК. Идеал порожденный двумя заданными идеалами будет называться наибольшим общим делителем (НОД) этих идеалов; такое название оправдывается тем, что действительно делит и при этом делится на любой общий делитель Иногда называют еще суммой идеалов потому что он состоит из всевозможных сумм где

Точно так же пересечение двух идеалов называют наименьшим общим кратным (НОК) идеалов потому что а действительно является кратншм этих идеалов и делит любое их общее кратное.