§ 100. Простые и примитивные кольца

Пусть о — простое кольцо с правой единицей

Равенство (1) утверждает, что нулевой идеал является модулярным левым идеалом. Согласно § 96 (теорема 3) существует модулярный максимальный левый идеал Модуль классов вычетов является простым и дает неприводимое представление. Ядро этого представления — двусторонний идеал который в соответствии с § 96, равенство (5), содержится в и не равен . Так как — простое кольцо, должно иметь место равенство т. е. представление, соответствующее модулю является точным.

Кольцо, обладающее точным неприводимым представлением, называется примитивным. Таким образом, имеет место

Теорема 16. Простое кольцо с единицей примитивно.

Выясним, верно ли обратное утверждение.

Пусть — примитивное кольцо и простой -модуль, соответствующий некоторому точному представлению кольца . Пусть произвольный элемент модуля не аннулируемый кольцом . Тогда подмодуль в отличный от нулевого, а потому равный самому модулю Отображение определяет некоторый гомоморфизм из на ядро которого является левым идеалом 8 кольца Модуль классов вычетов изоморфен модулю а потому является простым, т. е. 8 — максимальный идеал. Так как то элемент и должен иметь вид

Отсюда следует, что для всех . Таким образом, отображение переводит элементы в один и тот же элемент модуля Отсюда:

т. е. идеал модулярен.

Благодаря изоморфизму представление, соответствующее модулю эквивалентно представлению, соответствующему модулю Ядром этого представления является двусторонний идеал

Поскольку рассматриваемое представление точное, должно иметь место равенство Согласно § 96 (теорема 1) радикал кольца о содержится в а потому т. е. кольцо о полупросто. Итак, доказана

Теорема 17. Примитивное кольцо полупросто.

В первой части доказательства точность представления не использовалась. Использовалось лишь то, что модуль прост и не все элементы модуля аннулируются кольцом . Поэтому для любых колец верна

Теорема 18. Любой простой -модуль не аннулируемый кольцом , изоморфен модулю классов вычетов по некоторому модулярному максимальному левому идеалу Если — ядро представления, соответствующего модулю то радикал содержится в идеале т. е. все элементы из представляются нулем.

Вернемся к примитивным кольцам. Из полупростоты кольца о следует, что при условии минимальности для левых идеалов кольцо о является прямой суммой минимальных левых идеалов:

По крайней мере один из идеалов 1,- не содержится в идеале , потому что иначе сумма принадлежала бы , а это невозможно. Сумма равна тогда кольцу о, потому что — максимальный идеал, в пересечение 1; равно нулю, так как — минимальный идеал. Следовательно, имеет место изоморфизм

Модуль изоморфен, таким образом, некоторому простому левому идеалу а представление, соответствующее модулю эквивалентно представлению, соответствующему модулю

Согласно § 99 кольцо о является прямой суммой двусторонних идеалов все они, за исключением одного, представляются нулем в представлении, соответствующем идеалу Если представление точное, то может существовать лишь один идеал т. е. о само по себе является простым кольцом с единицей. Мы доказали следующую теорему:

Теорема 19. Любое примитивное кольцо с условием минимальности для левых идеалов является простым и обладает единицей.

Если объединить теоремы 16 и 19, то станет ясно, что для колец с условием минимальности, в частности, для алгебр, свойства «быть примитивным» и «быть простым кольцом с единицей» равносильны.

Строение примитивных колец в общем случае (без условия минимальности) было подробно изучено Джекобсоном. Каждое примитивное кольцо о может быть погружено в кольцо линейных преобразований некоторого векторного пространства таким образом, окажется замкнутой оболочкой кольца о в некоторой вполне определенной топологии на Здесь мы лишь

построим упомянутое векторное пространство и укажем вложение кольца о в кольцо

В этой конструкции важную роль играет кольцо эндоморфизмов произвольного -модуля. Эндоморфизмы произвольного -модуля определяются как отображения модуля в себя, обладающие следующими свойствами:

Свойство (3) утверждает, что отображение должно быть перестановочно с преобразованиями А того представления которое связано с модулем

Если модуль обладает областью правых операторов то, кроме (2) и (3), требуется еще

для всех из Например, если поле и векторное пространство над этим полем, то свойства (2), (3) и (4) означают, что эндоморфизмы являются линейными преобразованиями векторного пространства перестановочными со всеми линейными преобразованиями А представления

Если сумму и произведение эндоморфизмов определить в соответствии с § 45 равенствами

то эндоморфизмы образуют некоторое кольцо — кольцо левых эндоморфизмов модуля

В дальнейшем часто будет целесообразно записывать эндоморфизмы как правые операторы а их произведение определять равенством

Тогда вместо (2), (3), (4) выполняются равенства

Правые эндоморфизмы точно так же составляют некоторое кольцо — кольцо правых эндоморфизмов -модуля Когда в этом и следующем параграфах речь пойдет о кольце эндоморфизмов некоторого модуля, будет постоянно подразумеваться кольцо правых эндоморфизмов. Оно инверсно изоморфно кольцу левых эндоморфизмов, т. е. каждому левому эндоморфизму однозначно

сопоставляется правый эндоморфизм X так, что сумме соответствует сумма а произведению произведение

Кольцо эндоморфизмов простого -модуля является телом.

Конечно, кольцо эндоморфизмов имеет единицу, а именно — тождественный автоморфизм Остается доказать, что каждый эндоморфизм обладает обратным Эндоморфизм X отображает модуль на некоторый подмодуль Если то этот подмодуль не является нулевым, а потому должен совпадать с Множество элементов, которые отображаются эндоморфизмом X в 0, является подмодулем в Если то этот подмодуль не есть а потому он нулевой. Таким образом, эндоморфизм X отображает модуль изоморфно на себя. Но тогда он обладает обратным автоморфизмом что мы и хотели доказать.

Описанное тело К называется телом эндоморфизмов простого -модуля Так как единица тела К является единичным оператором, то модуль векторное пространство над К. Элементы а кольца о в силу соотношений

порождают линейные преобразования А векторного пространства Отображение а является гомоморфизмом колец. Если представление точное, то является изоморфизмом и кольцо с оказывается вложенным в кольцо линейных преобразований векторного пространства

(см. скан)