§ 119. Теорема единственности

Разложение идеалов на наибольшие примарные компоненты не является однозначным.

Пример. Идеал

в кольце многочленов состоит из многочленов, которые делятся на х и не содержат линейных частей. Множество всех делящихся на х многочленов является простым идеалом

множество всех многочленов, в которых отсутствуют свободные и линейные части, является примарным идеалом

Таким образом,

Это - несократимое представление и, так как ассоциированные с простые идеалы и различны, то это — представление наибольшими примарными компонентами. Наряду с ним есть еще одно:

где

Действительно, чтобы многочлен принадлежал идеалу достаточно потребовать, чтобы он делился на х и в нем отсутствовало слагаемое, содержащее х. Когда поле К бесконечно, можно привести бесконечное множество представлений такого сорта:

Для всех указанных разложений идеала общим является одинаковое число примарных компонент и набор ассоциированных простых идеалов:

Это является общим фактом:

Первая теорема единственности. В любых двух несократимых представлениях идеала наибольшими примарными компонентами количество компонент (но не обязательно сами компоненты) и наборы ассоциированных простых идеалов совпадают.

Доказательство. Для любого примарного идеала утверждение тривиально. Следовательно, мы можем провести индукцию по числу примарных компонент, появляющихся по крайней мере в одном представлении рассматриваемого идеала. Пусть

Из всех ассоциированных простых идеалов выберем максимальный, т. е. не содержащийся в других. Пусть он входит, скажем, в левую часть и равен Тогда этот идеал входит и в правую часть. Действительно, иначе можно было бы в (1) построить частные от деления на

для всех имеет место так как в противном случае было бы что противоречит максимальности идеала Точно так же для всех имеет место Следовательно, в силу теоремы IV (§ 117) имеем

Так как, далее, то

Справа стоит идеал и поэтому слева тоже должен быть идеал идеал о можно отбросить. Следовательно,

Это означает, что первое из двух данных представлений (1) при сделанном выше допущении оказывается сократимым, что противоречит условию.

Таким образом, каждый максимальный простой идеал входит в обе части данного равенства.

Пусть теперь, например, Докажем, что и что (при подходящей нумерации) Для идеалов, которые представляются менее чем примерными компонентами, все можно считать доказанным. Упорядочим идеалы так, чтобы был максимальным ассоциированным простым идеалом.

Разделим обе части (1) на произведение

тогда, так же как в предыдущем случае, получим

Далее, так как делится на и на то

Таким образом,

Так как теперь слева и справа указано несократимое представление наименьшими примерными компонентами, то по предположению индукции имеет место равенство т. е. Кроме того, при подходящей нумерации для всех Так как еще то все доказано.

Однозначно определенные в силу только что доказанной теоремы идеалы которые возникают как ассоциированные простые идеалы в несократимом представлении называются простыми идеалами, ассоциированными с идеалом а. Вот их важнейшее свойство:

Если идеал а не делится ни на один простой идеал, ассоциированный с идеалом верно и обратное.

Доказательство. Пусть несократимое представление. Пусть сначала для где —

идеал, ассоциированный с Отсюда следует, что

Обратно, пусть Если бы было для некоторого скажем, то это означало бы, что , а потому

и, следовательно, в силу того, что каждое сравнение по можно сокращать на а и, стало быть, на имеем

что противоречит несократимости данного представления.

Важный частный случай: идеал является главным идеалом (а):

Если элемент а не делится ни на один из простых идеалов, ассоциированных с данным идеалом то т. е. из следует, что

Общую теорему можно сформулировать и иным способом, представляя идеал а в виде пересечения примарых идеалов Идеал а тогда и только тогда делится на когда этим свойством обладает одно из или, что то же самое, одно из Следовательно,

Если ни один из простых идеалов, ассоциированных с а, не делится на простой идеал, ассоциированный с то верно и обратное.