§ 105. Представления алгебр

В § 100 (теорема 18) мы видели, что радикал алгебры с представляется нулем в любом неприводимом представлении этой алгебры. То же самое верно, конечно, и для вполне приводимого представления, потому что оно складывается из неприводимых

представлений. Таким образом, любое вполне приводимое представление алгебры о можно считать представлением полупростой алгебры

Следующая теорема указывает, как получаются представления полупростых алгебр или, более общо, полупростых колец с условием минимальности для левых идеалов. Согласно § 98 каждое такое кольцо о обладает единичным элементом и вполне приводимо слева, т. е. является прямой суммой простых левых идеалов. Каждому представлению кольца о соответствует некоторый с-модуль Имеет место следующая

Основная теорема. Пусть о — вполне приводимое слева кольцо с единицей и некоторый -модуль с конечным базисом. Единичный элемент кольца с считается единичным оператором на Тогда является прямой суммой простых с-модулей. Каждый из них изоморфен некоторому простому левому идеалу в о.

Доказательство. Согласно предположению кольцо о является прямой суммой простых левых идеалов:

Далее, по условию модуль обладает конечным -базисом Отсюда

Подставляя (1) в (2), получим

Из суммы в правой части равенства (3) можно удалить модули равные нулю. Если же то сопоставление определяет операторный изоморфизм из на Отличные от нуля модули изоморфны, таким образом, модулю а потому являются простыми. Если одно из слагаемых содержится в сумме остальных, то его можно удалить. Продолжать в таком духе можно до тех пор, пока каждый из оставшихся членов не будет иметь нулевое пересечение с суммой остальных. В таком случае сумма будет прямой.

Разумеется, основная теорема остается верной и тогда, когда кольцу о и модулю придана область правых мультипликаторов со следующими свойствами:

В применениях к теории представлений алгебр является полем коэффициентов алгебры о и одновременно полем представления. Если векторное пространство конечной размерности над то автоматически имеет конечный -базис, что и требуется в основной теореме.

Для полупростых алгебр эта теорема утверждает, что каждое представление любой из них вполне приводимо, и что составляющие неприводимые представления входят в качестве неприводимых составляющих в регулярное представление. Неприводимые составляющие регулярного представления в соответствии с (1) связаны с простыми левыми идеалами

Любая полупростая алгебра о в соответствии с § 99 является прямой суммой простых алгебр

Алгебры можно разлагать в свою очередь на минимальные левые идеалы Входящие в фиксированную алгебру идеалы попарно изоморфны, а потому задают одно и то же представление. Идеалы содержащиеся в алгебре аннулируются каждой из алгебр при

Поэтому все эти алгебры а представляются нулем в том представлении, которое соответствует идеалу Лишь алгебра будет представляться этим представлением точно. Действительно, ядро представления алгебры является двусторонним идеалом в и так как — простая алгебра, не вся представляющаяся нулем, ядро может быть только нулевым идеалом.

Мы рассмотрим теперь представление простой алгебры, которое связано с любым простым левым идеалом этой алгебры.

Простая алгебра о с единицей согласно § 102 изоморфна полному матричному кольцу над некоторым телом Если введенные в § 93 матричные единицы, которые там обозначались через то

Минимальный левый идеал I будет задаваться равенством

Наконец, основное поле над которым определено представление, содержится в центре тела А, и А имеет конечный ранг над

Рассмотрим сначала случай Базис идеала I может служить для явного описания матриц представления. Если элемент кольца о, то

тем самым в представлении, соответствующем идеалу I, элементу а сопоставляется матрица Следовательно, изоморфизм кольца

и полного кольца матриц это то самое неприводимое представление, которое соответствует минимальному левому идеалу

Примечательно, что в рассматриваемом случае представляемые матрицы образуют полное матричное кольцо степени. Это же обстоятельство можно выразить и такими словами: среди представляемых матриц есть ровно линейно независимых.

Пусть теперь А — собственное расширение конечной степени поля Р:

В этом случае мы прежде всего построим регулярное представление алгебры А над полем при котором каждому элементу из А сопоставляется матрица В с помощью равенства

Затем мы построим идеал

Если с помощью этого базиса представить элемент алгебры о, то получится:

где нули представляют -строчные нуль-матрицы, а матрица В занимает место на пересечении столбца и строки. Суммируя, получаем отсюда:

где опять-таки матрицы, соответствующие элементам в регулярном представлении алгебры

Из вида неприводимого представления, соответствующего модулю I, можно понять, каким образом оно распадается при том или ином расширении основного поля до какого-то поля При таком расширении тело переходит в систему а левый идеал

Если кольцо Да приводимо и содержит собственный левый идеал то и содержит собственный подидеал

Точно так же: если распадается на левые идеалы то идеал распадается на то же число левых идеалов Следовательно: приводимость или разложение неприводимого представления кольца о, соответствующего идеалу I при расширении поля до поля полностью определяется приводимостью или соответственно разложением алгебры на левые идеалы.

Если то согласно § 103 поле всегда можно выбрать так, чтобы алгебра содержала делители нуля и, следовательно, не являлась телом, а содержала по крайней мере один собственный левый идеал. В таком случае неприводимое представление над полем соответствующее идеалу I, будет приводимо над нолем . В случае наоборот, представление, соответствующее идеалу абсолютно неприводимо, т. е. остается неприводимым при любом расширении основного поля. Тем самым условие является необходимым и достаточным для абсолютной неприводимости представления, заданного над

Если алгебра с является не простой, а всего лишь полупростой, равной прямой сумме простых алгебр и 1 — какой-нибудь левый идеал, скажем, то для описания представления произвольного элемента а из о, задаваемого идеалом I, нужно поступить так: сначала записать а в виде суммы затем из этой суммы извлечь компоненту и в соответствии с формулой (5) построить для элемента матрицу. Остальные же компоненты аннулируют идеал 1 и поэтому представляются нулем.

Если полные матричные кольца порядков соответственно над телами и если ранг тела а неприводимое представление, соответствующее левому идеалу то ранг алгебры о равен сумме рангов алгебр т. е.

далее, степень представления согласно (5) равна

Наконец, алгебра распадается на эквивалентных левых идеалов благодаря чему регулярное представление содержит представление как -кратную составляющую.

В частности, если все абсолютно неприводимы, то все тем самым (6) и (7) принимают более простой вид: