§ 12. Гомоморфизмы и изоморфизмы

Пусть системы с двойной композицией. Согласно общему определению из § 10 отображение из называется гомоморфизмом, если соотношения при этом отображении сохраняются, т. е. если сумма а переходит в сумму а произведение в произведение а В. Множество , являющееся в образом множества , называется в этом случае гомоморфным образом множества . Если отображение взаимно однозначно, то отображение называют изоморфизмом в соответствии с нашим общим определением (§ 9) и пишут . Отношение рефлексивно и транзитивно, а так как отображение, обратное к изоморфизму, является изоморфизмом, это отношение и симметрично.

Гомоморфный образ кольца является кольцом.

Доказательство. Пусть кольцо, — система с двойной композицией, а — гомоморфное отображение из на Мы должны показать, что — снова кольцо. Как и в случае групп (§ 10), доказательство проводится следующим образом.

Пусть — любые три элемента из ; докажем какое-либо из правил вычисления, например, а для чего фиксируем прообразы с элементов . Так как — кольцо, выполняется равенство а в силу гоморфности отображения а Точно так же проводится доказательство всех законов ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности. Для доказательства разрешимости уравнения а нужно найти прообразы и решить уравнение а откуда в силу гомоморфности получится, что

Нулю и противоположному элементу —а элемента а соответствуют при гомоморфизме нуль и противоположный элемент из кольца Если единицей, то ей соответствует единичный элемент в .

Доказательство такое же, как в случае групп.

Если кольцо коммутативно, то коммутативно и .

Если — целостное кольцо, то не обязано быть целостным, как мы увидим позднее; кольцо может быть целостным и тогда, когда таковым не является. Но если отображение изоморфно, то, конечно, все алгебраические свойства кольца переносятся на кольцо . Отсюда следует утверждение:

Изоморфный образ целостного кольца (соответственно поля) является целостным кольцом (соответственно полем).

Здесь уместно сформулировать одну почти тривиальную теорему, которая будет важна в дальнейшем:

Пусть — два кольца, не имеющие общих элементов; пусть содержит подкольцо изоморфное Тогда существует кольцо содержащее

Доказательство. Удалим из элементы кольца и заменим их на соответствующие при изоморфизме элементы кольца Суммы и произведения на замененных и оставшихся элементах определим так, как это получается при изоморфном соответствии для исходных элементов в (Например, если перед заменой элементов выполнялось равенство затем а заменялся на и оставались неизменными, то мы полагаем Таким способом из возникает кольцо которое и в самом деле содержит