Главная > Алгебра (Ван дер Варден Б.Л.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 79. Корни вещественных функций

Пусть поле вещественных чисел. Рассмотрим вещественнозначные функции вещественной переменной х. Такая функция называется непрерывной при если для любого числа существует такое число при котором

Легко доказать, что суммы и произведения непрерывных функций являются непрерывными функциями (см. аналогичное доказательство для фундаментальных последовательностей в § 78). Так как константы и функция непрерывны всюду, то все многочлены от х представляют всюду непрерывные функции от х.

Теорема Вейерштрасса о корнях непрерывных функций утверждает:

Если непрерывная при функция такова, что то между она обращается в нуль.

Доказательство. Пусть с — верхняя грань всех х, лежащих между для которых Имеются три возможности.

1. . Тогда и существует такое, что для имеет место

т. е.

Следовательно, с верхняя граница для таких х, что Но элемент с был наименьшей верхней границей. Следовательно, этот случай невозможен.

2. . Тогда с и существует такое что для например, для

Тем самым число с не есть верхняя граница всех таких х, что Следовательно, и этот случай невозможен.

3. - единственный оставшийся случай. Следовательно, обращается в нуль при

Теорема Вейерштрасса о корнях применительно к многочлену является основой всех теорем о вещественных корнях алгебраических уравнений. Позднее мы перенесем ее на случай так

называемых «вещественно замкнутых полей», так что она окажется верной не только для поля вещественных чисел. Все последующие теоремы этого параграфа основываются исключительно на теореме Вейерштрасса о корнях многочленов и тем самым окажутся справедливыми для всех вводимых позднее полей, где эта теорема выполнена.

Следствие 1. Многочлен при и любом натуральном всегда имеет корень и притом даже положительный.

Действительно, при а при больших х например, имеем

Из следует, далее, что при откуда можно получить положительный корень уравнения Он обозначается через а при просто через («квадратный корень»). Положим Из следует потому что если бы было у а то оказалось бы выполненным неравенство а

Следствие 2. Каждый многочлен нечетной степени имеет корень в поле

Действительно, в силу задачи 2 из § 77 существует такое что

Обратимся теперь к вычислению вещественных корней многочлена Под вычислением, в соответствии с определением вещественных чисел, подразумевается сколь угодно точная аппроксимация рациональными числами.

В § 77 (задача 2) мы уже видели, как можно заключить в границы вещественные корни многочлена если

и наибольшее из чисел то все корни лежат между и Число можно заменить на некоторое (при необходимости большее) рациональное число, которое вновь обозначим через интервал с рациональными концами с помощью промежуточных рациональных точек можно разделить на сколь угодно мелкие части. В какой из этих частей находятся корни, можно будет установить, обладая средством подсчета числа корней в каждой из полученных частей интервала. С помощью дальнейшего разбиения интервала, в котором лежат вещественные корни, можно будет аппроксимировать эти корни сколь угодно точно.

Следующая теорема доставляет средство определения числа корней между двумя заданными границами, а также общего числа корней данного уравнения.

Теорема Штурма. Определим многочлены на основе заданного многочлена по следующей схеме:

Для каждого вещественного числа а, не являющегося корнем многочлена пусть число перемен знака в последовательности чисел

из которой удалены все нули. Если — произвольные числа, на которых не обращается в нуль, причем то число различных корней в интервале (кратные корни считаются только один раз) равно

Последовательность многочленов называется рядом Штурма многочлена Таким образом, теорема утверждает, что число корней между и с задается числом перемен знака в ряду Штурма, потерянных при переходе от к с.

Доказательство. Очевидно, последний многочлен указанного ряда является наибольшим общим делителем многочленов Если считать, что все многочлены ряда разделены на то будет освобожден от кратных линейных множителей, а число перемен знака в точке а, не являющейся корнем, останется прежним. Действительно, знаки членов ряда при таком делении либо все изменятся, либо все сохранятся. Поэтому мы можем считать с самого начала доказательства, что описанное деление уже осуществлено и последний член в ряду является ненулевой константой. Второй член в ряду в общем случае уже не будет производной первого, так как, если, скажем, некоторый -кратный корень многочлена и

то удаление множителя даст два многочлена:

а наличие других кратных корней вызовет дальнейшее сокращение. Обозначим так измененные многочлены ряда Штурма вновь через

При этом предположении в любой точке а два последовательных члена ряда не равны одновременно нулю, потому что, если бы, скажем одновременно были равны нулю, то из равенств (1) можно было бы заключить, что и равны нулю, в то время как

Корни многочленов в ряду Штурма разбивают интервал на подынтервалы. Внутри любого такого подынтервала ни X, ни не обращаются в нуль, а по теореме Вейерштрасса о корнях отсюда следует, что внутри каждого такого интервала все многочлены ряда Штурма сохраняют свои знаки, так что число сохраняется неизменным. Нам, следовательно, нужно еще только выяснить, как меняется число в точке в которой равен нулю один из многочленов ряда.

Пусть сначала корень многочлена В силу равенства

числа обязаны иметь разные знаки. Тогда и в двух подынтервалах, примыкающих к точке многочлены и имеют разные знаки. Каков знак многочлена или , для числа перемен знака между не имеет значения: всегда есть ровно одна перемена. Следовательно, число не меняется при переходе через точку

Пусть теперь корень многочлена и в соответствии со сделанным выше замечанием

где I — некоторое натуральное число. Знак многочлена в точке а потому и в двух примыкающих интервалах, совпадает со знаком числа в то время как знак многочлена X в каждой точке х равен знаку многочлена Следовательно, при имеется перемена знака между и а при нет. Все же остальные перемены знака в ряду Штурма, как уже было показано, сохраняются при переходе через точку Следовательно, число при переходе через уменьшается на единицу. Теорема доказана.

Если теорема Штурма применяется для определения числа корней (различных вещественных) многочлена то в качестве

границы нужно взять настолько малое число, а в качестве границы с — настолько большое число, чтобы при и при многочлен вообще не имел корней. Достаточно, например, положить Удобнее, однако, выбирать и с так, чтобы все многочлены в ряду Штурма при и при не имели корней. Тогда их знаки будут определяться знаками их старших коэффициентов: многочлен при очень больших значениях имеет знак числа а при очень малых (отрицательных) значениях знак числа При таком подходе не приходится думать о том, как велики должны быть числа : нужно лишь определить старшие коэффициенты и степени многочленов Штурма.

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru