§ 159. Базисы окрестностей

Система окрестностей точки образует базис окрестностей точки если в каждой окрестности этой точки содержится некоторая окрестность из рассматриваемой системы. Для того чтобы быть базисом, системе достаточно быть такой, чтобы в каждой открытой окрестности точки содержалась некоторая окрестность из этой системы. Например, открытые окрестности точки составляют базис окрестностей этой точки. В нашем примере 1 открытые интервалы, содержащие точку составляют

базис окрестностей этой точки. В примере 2 круги с центром в а составляют базис окрестностей точки а.

Часто топологические пространства определяются тем, что сначала задается базис окрестностей каждой точки, а затем вводятся открытые множества с помощью этого базиса так, как это было сделано в рассмотренных выше примерах. Таким образом, каждой точке сопоставляют некоторые базисные множества обладающие следующими свойствами:

U. Каждой точке сопоставляются базисные множества каждое из которых содержит точку

Для каждых двух базисных множеств и существует базисное множество которое содержится в каждом из них.

С помощью этих базисных множеств теперь можно определить открытые множества как такие, которые вместе с каждой точкой содержат некоторое базисное множество Определенные таким способом открытые множества обладают, очевидно, свойствами I и II; следовательно, оказывается определенным некоторое топологическое пространство. Чтобы базисные множества оказались окрестностями в смысле введенной топологии, они должны удовлетворять некоторому дополнительному условию. Одно достаточное условие получается, если потребовать, чтобы сами были открытыми множествами:

. Если принадлежит то содержит некоторое базисное множество

Следующее, более слабое, условие является необходимым и достаточным:

U. Любое базисное множество содержит такое базисное множество что для каждой точки из некоторое базисное множество содержится в

Если выполнено то внутри можно определить множество состоящее из таких точек что одно из базисных множеств каждой точки принадлежит множеству Очевидно, это множество открыто и содержит Следовательно, содержит открытую окрестность точки т. е. некоторая окрестность точки

Слова «базисные множества» нам теперь больше не нужны: в дальнейшем мы будем называть базисные множества базисными окрестностями. Совокупность всех базисных окрестностей всех точек называется базисом окрестностей или системой окрестностей топологического пространства

Понятие системы окрестностей восходит к Хаусдорфу, который рассматривал только открытые окрестности. Требования — это в точности первые три аксиомы Хаусдорфа об окрестностях. Четвертая аксиома Хаусдорфа — аксиома отделимости будет сформулирована

Пример 4. Определим в -мерном векторном пространстве над полем вещественных чисел куб со стороной вокруг вектора

как совокупность векторов для которых

Кубы удовлетворяют условиям Векторное пространство является, таким образом, топологическим пространством, в котором кубы служат базисом окрестностей.

Топологическое пространство называется дискретным, если все его подмножества являются открытыми множествами. Отдельные точки в таком пространстве составляют некоторую систему окрестностей.

(см. скан)