§ 154. Теорема Римана — Роха

Теперь мы у цели. Прежде всего определим произведение составленное из некоторой функции и и некоторого ковектора Произведение определяется как линейное отображение из в А:

Очевидно, операция обладает свойствами А), и В) из § 152, а потому с помощью (1) оказывается определенным некоторый ковектор

Если X — дифференциал, то и дифференциал:

Следующие вспомогательные утверждения почти очевидны:

Лемма 1. Если X — кратное дивизора для всех векторов V, делящихся на и наоборот.

Доказательство. Пусть ковектор X задается последовательностями Если X — кратное дивизора то в эти последовательности входят лишь индексы Если, далее, вектор V

задается степенными рядами

и V делится на то в степенные ряды (2) входят лишь слагаемые Скалярное произведение

равно нулю, так как сумма никогда не обращается в — 1. Обратно, если для всех делящихся на векторов V, то в последовательность могут входить лишь члены с а потому X — кратное дивизора

Лемма 2. Если X является кратным дивизора то кратное дивизора

Доказательство. Согласно лемме 1 равенство имеет место всякий раз, когда V делится на поэтому всякий раз, когда делится на т. е. если V делится на

Пусть теперь некоторый дифференциал. Согласно § 153 существует дивизор на который делится Пусть где некоторый простой дивизор степени Дивизор имеет степень

Число линейно независимых кратных и дивизора в соответствии с римановой частью теоремы Римана — Роха, удовлетворяет неравенству

Если — кратное дивизора то кратное дивизора В. Согласно лемме кратное дивизора а потому кратное и дивизора В. Общее число линейно независимых дифференциалов, являющихся кратными дивизора В, равно Следовательно, из (4) получается

Для согласно (12) из § 153, имеет место равенство

Подставим это в (5); тогда получится

Таким образом, степень дивизора ограничена сверху. Следовательно, для заданного дифференциала X существует некоторый максимальный дивизор такой, что X является кратным дивизора но не является кратным никакого другого дивизора

типа где произвольный простой дивизор. Однозначно определенный максимальный дивизор являющийся кратным дифференциала к, называется дивизором дифференциала k.

Докажем теперь следующее:

Все дифференциалы со имеют вид где k — произвольно фиксированный дифференциал.

Доказательство. Предположим противное: существует дифференциал со, который не представляется в виде Тогда

Как было показано после соотношения (4), существует по меньшей мере

линейно независимых дифференциалов кратных дивизору Равным образом существует по меньшей мере

линейно независимых дифференциалов кратных дивизору В. Все эти дифференциалы независимы, потому что никакая линейная комбинация дифференциалов не равна линейной комбинации дифференциалов Следовательно, при сделанном предположении существует всего

линейно независимых дифференциалов, кратных дивизору В. Но согласно (6) существует всего лишь таких дифференциалов. Для больших значений в полученном результате заключено противоречие. Следовательно, все дифференциалы имеют вид что и утверждалось.

Заменим теперь В на произвольный дивизор и вновь зададимся вопросом: сколько существует линейно независимых дифференциалов являющихся кратными дивизора Если кратное дивизора А, то — кратное дивизора и, следовательно, максимальный дивизор делится на а потому делится на следовательно, и —кратное дивизора Обратно, если кратное дивизора то, обращая рассуждения, получим, что кратное дивизора Таким образом, имеет место равенство

Если это подставить в (15) из § 151, то получится основной результат:

Теорема Римана—Роха. Если А — произвольный дивизор поля — произвольный ненулевой дифференциал, то

Вот несколько дополнений к сказанному.

1. Положим тогда из (9) или, если угодно, из (10) следует, что

2. Положим тогда из (10) следует, что

3. Если X — некоторое кратное дивизора то — кратное дивизора и наоборот. Следовательно, если дивизор дифференциала X, то дивизор дифференциала Дивизоры дифференциалов тем самым оказываются эквивалентными. Класс дивизора называется классом дифференциалов или каноническим классом.

4. Более общее утверждение: любой класс дивизоров состоит из дивизоров вида и А, эквивалентных произвольно взятому в классе дивизору А. Все дивизоры и А данного класса имеют одну и ту же размерность и одну и ту же степень ; поэтому называется размерностью класса, а степенью класса.

Размерность класса можно определить следующим образом. Если и делится на то целый дивизор. Следовательно, элементам и модуля соответствуют целые дивизоры и А класса Если функции линейно независимы, то дивизоры называют линейно независимыми. Ранг модуля является, следовательно, максимальным числом линейно независимых целых дивизоров класса

5. Если то не может существовать целый дивизор, эквивалентный дивизору поэтому

6. Если то следовательно, в силу 5. Отсюда в силу (9) следует, что Итак:

Дивизор А, для которого не является специальным.

(см. скан)

Тем самым построение общей теории для произвольного основного поля А окончено. В заключение мы опишем связь этой теории с классическим вариантом, когда А считается полем комплексных чисел. Для этой цели нам придется сначала рассмотреть несколько вопросов, связанных с сепарабельностью.

Общая теорема Римана—Роха переносится также на тела, являющиеся конечными расширениями того или иного поля рациональных функций . См. Витт (Witt Е.). Riemann - Rochscher Satz und J-l-unktion ira Hyper-komplexen. -Math. Ann., 1934, 110, S. 12.