§ 59. Сопряженные группы, поля и элементы поля

Пусть опять группа Галуа поля 2 над К и пусть некоторый элемент из 2. Подгруппа соответствующая промежуточному полю состоит из подстановок, которые оставл элемент неподвижным. Остальные подстановки из переводят в сопряженные элементы и каждый сопряженный с элемент можно получить таким способом (§ 57). В этой ситуации имеет место следующее предложение:

Подстановки группы которые переводят элемент в некоторый сопряженный с ним элемент, составляют смежный класс подгруппы и каждый смежный класс переводит элемент в один-единственный сопряженный с ним элемент.

Доказательство. Если подстановки, которые переводят в один и тот же элемент:

то

следовательно, элемент подгруппы и поэтому таким образом, лежат в одном и том же смежном классе Обратно, если лежат в одном и том же смежном классе — в классе то где а — элемент подгруппы и

Из доказанного факта заново следует, что степень элемента (т. е. число сопряженных с ним элементов) равна индексу подгруппы (т. е. числу смежных классов).

Автоморфизм который переводит переводит поле в сопряженное поле Оказывается верным следующее утверждение: поле соответствует подгруппе

Действительно, подгруппа, соответствующая полю состоит подстановок а, которые оставляют неподвижным элемент следовательно, для них имеет место равенство

или

или

или

т. е. это элементы группы

Таким образом, сопряженным полям соответствуют сопряженные группы.

Согласно § 57 поле А нормально над К тогда и только тогда, когда оно совпадает со всеми сопряженными с ним полями. Отсюда следует:

Поле нормально тогда и только тогда, когда соответствующая группа совпадает со всеми сопряженными с ней подгруппами внутри т. е. является в нормальной подгруппой.

Если А — нормальное поле, то возникает вопрос: какова группа поля А над полем

Каждый автоморфизм из переводит А в себя и, следовательно, задает некоторый автоморфизм искомой группы поля А над К. Произведению двух автоморфизмов из соответствует при этом произведение соответствующих автоморфизмов поля гомоморфно отображается на группу автоморфизмов

поля Элементы из которые переходят в единичную подстановку поля А, — это в точности элементы из подгруппы отсюда следует, по теореме о гомоморфизме (§ 10), что искомая группа изоморфна факторгруппе Следовательно,

Группа Галуа поля А над К изоморфна факторгруппе

(см. скан)