§ 148. Аппроксимационная теорема

Каждому нормированию поля К, как было замечено выше, соответствует понятие предела; символ означает, что Непосредственно проверяется, что

Напомним, что два нормирования и называются эквивалентными, если из следует, что и наоборот.

В § 142 был доказан следующий критерий эквивалентности: Лемма 1. Два нормирования и эквивалентны тогда и только тогда, когда из следует, что . В качестве следующего шага будет доказана

Лемма 2. Пусть конечное множество неэквивалентных нормирований поля К. Тогда существует такой элемент а из К, что

Доказательство проводится индукцией по Пусть сначала Так как нормирования не эквивалентны, то по лемме 1 существует элемент для которого

а также элемент с, для которого

Но тогда элемент обладает нужными свойствами:

Если для нормирований утверждение предполагается верным, то существует такой элемент что

Согласно доказанному для существует такой элемент с, что

Рассмотрим два случая:

Случай Построим Тогда

и для достаточно больших

Поэтому можно положить

Случай Построим элементы

Последовательность сходится к с относительно нормирований и сходится к относительно прочих нормирований Поэтому

Следовательно, элемент при достаточно большом обладает нужными свойствами:

Лемма 3. Если неэквивалентные нормирования, то существует элемент данного поля, расположенный как угодно близко к 1 относительно нормирования и как угодно близко к относительно нормирований

Доказательство. В случае утверждение тривиально. В случае рассмотрим элемент а со свойствами (1) и построим элемент

Последовательность стремится к 1 относительно нормирования и стремится к относительно нормирований Отсюда следует требуемое.

После этих подготовительных предложений будет доказана

Аппроксимационная теорема. Пусть неэквивалентные нормирования. Для заданных элементов основного поля существует элемент а, который расположен как угодно близко к элементу относительно нормирования

Доказательство. Согласно лемме 3 существуют элементы близкие к 1 оносительно нормирования и близкие к нулю относительно прочих нормирований. Сумма

в таком случае расположена как угодно близко к относительно нормирования

Изложенное здесь доказательство аппроксимационной теоремы заимствовано из курса лекций Э. Артина.